השפעת שינוי הנתונים

סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 12 מתוך 20לימוד

השפעת שינוי הנתונים

הוספת מספר לכל הנתונים

כשמוסיפים אותו מספר לכל הנתונים, כל מדדי המרכז גדלים באותו מספר, ומדדי הפיזור לא משתנים: כל הנתונים זזים יחד, והמרחקים ביניהם נשארים.

השכר לשעה של שישה עובדים זמניים, בשקלים, מסודר מהקטן לגדול:
45, 48, 50, 52, 52, 53.
באפריל השכר של כל אחד מהם עלה ב-4 ₪:
49, 52, 54, 56, 56, 57.

	לפני	אחרי
ממוצע	50	54
חציון	51	55
שכיח	52	56
טווח	8	8
סטיית תקן	$\displaystyle \approx2.77$	$\displaystyle \approx2.77$

הסטיות מהממוצע לא השתנו – $\displaystyle -5, -2, 0, 2, 2, 3$ – ולכן גם השונות וסטיית התקן לא השתנו. כך גם כשמחסירים מספר מכל הנתונים.

כפל של כל הנתונים במספר

כשכופלים את כל הנתונים באותו מספר חיובי $\displaystyle k$ , כל מדדי המרכז וגם הטווח וסטיית התקן נכפלים ב- $\displaystyle k$ . השונות נכפלת ב- $\displaystyle k^2$ .

נניח שבמקום תוספת של 4 ₪, השכר של כל אחד מששת העובדים עלה ב-10%: כל שכר נכפל ב- $\displaystyle 1.1$ .

הממוצע: $\displaystyle {50\cdot1.1}={55}$ ₪; החציון: $\displaystyle {51\cdot1.1}={56.1}$ ₪; השכיח: $\displaystyle {52\cdot1.1}={57.2}$ ₪.
הטווח: $\displaystyle {8\cdot1.1}={8.8}$ ₪.
סטיית התקן: $\displaystyle 2.77\cdot1.1\approx3.05$ ₪. כל סטייה מהממוצע גדלה פי $\displaystyle 1.1$ , ולכן גם סטיית התקן.

חילוק של כל הנתונים במספר הוא כפל ב- $\displaystyle \frac{1}{k}$ : כל המדדים האלה קטנים פי $\displaystyle k$ .

השפעת השינויים בטבלה

שינוי של כל הנתונים	ממוצע, חציון, שכיח	טווח, סטיית תקן
הוספה של $\displaystyle c$	גדלים ב- $\displaystyle c$	לא משתנים
הפחתה של $\displaystyle c$	קטנים ב- $\displaystyle c$	לא משתנים
כפל ב- $\displaystyle k>0$	נכפלים ב- $\displaystyle k$	נכפלים ב- $\displaystyle k$
חילוק ב- $\displaystyle k>0$	מתחלקים ב- $\displaystyle k$	מתחלקים ב- $\displaystyle k$

שינוי בשני שלבים עובר את שני השלבים: מעלות צלזיוס הופכים למעלות פרנהייט ב- $\displaystyle {F}={1.8C+32}$ , ולכן ממוצע של $\displaystyle 20^\circ$ צלזיוס הוא $\displaystyle {1.8\cdot20+32}={68^\circ}$ פרנהייט, וסטיית תקן של $\displaystyle 5^\circ$ צלזיוס היא $\displaystyle {1.8\cdot5}={9^\circ}$ פרנהייט – ה-32 לא משנה אותה.

הוספה של נתונים

כשמוסיפים נתון חדש, הממוצע זז לכיוונו, וסטיית התקן תלויה במרחק שלו מהממוצע.

הנתונים 6, 8, 10, 12, 14: הממוצע 10, השונות 8, וסטיית התקן $\displaystyle \sqrt{8}\approx2.83$ .

מוסיפים את 10, השווה לממוצע: הממוצע נשאר 10. סכום ריבועי הסטיות נשאר 40, אבל מחלקים אותו ב-6, ולכן $\displaystyle {\sigma}={\sqrt{\frac{40}{6}}\approx2.58}$ – סטיית התקן קטנה.
מוסיפים את 16, רחוק מהממוצע: הממוצע עולה ל- $\displaystyle {\frac{66}{6}}={11}$ , ו- $\displaystyle {\sigma}={\sqrt{\frac{70}{6}}\approx3.42}$ – סטיית התקן גדלה.

נתון חדש שווה לחציון לא משנה את החציון כשמספר הנתונים אי־זוגי; נתון חדש גדול מהערך הגדול ביותר מגדיל את הטווח.

בניית נתונים לפי מדדים נתונים

מהמדדים אפשר לפעמים למצוא את הנתונים עצמם.

ארבעה נערים עובדים באותו מקום עבודה. השכר שלהם ביום עבודה אחד:
השכר הממוצע: 250 ₪.
השכר השכיח: 300 ₪.
השכר החציוני: 265 ₪.

בפתרון שלפניכם נמצא את ארבעת השכרים, מסודרים מהקטן לגדול: $\displaystyle a\le b\le c\le d$ .

השכיח 300: לפחות שניים מהשכרים הם 300 ₪. החציון 265 קטן מ-300, ולכן הם שני הגדולים: $\displaystyle {c}={d}={300}$ .
החציון הוא הממוצע של שני האמצעיים: $\displaystyle {\frac{b+300}{2}}={265}$ , ולכן $\displaystyle {b}={230}$ .
הממוצע 250, ולכן סכום השכרים $\displaystyle {4\cdot250}={1000}$ : $\displaystyle {a}={1000-230-300-300}={170}$ .

השכרים: 170, 230, 300, 300 ₪.

תרגיל 1

הציונים של שישה תלמידים בבוחן, מתוך 20:
6, 7, 7, 8, 9, 11.
הממוצע 8, החציון 7.5, וסטיית התקן בערך 1.63.
המורה גילתה שאחת השאלות הייתה שגויה, והוסיפה לכל תלמיד 2 נקודות.

מה הממוצע החדש?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מה החציון החדש?

מה סטיית התקן החדשה?

תרגיל 2

בחנות, המחיר הממוצע של חולצה הוא 40 ₪, סטיית התקן של המחירים 5 ₪, והטווח 15 ₪.
כל המחירים עלו ב-20%.

מה המחיר הממוצע החדש?

מה סטיית התקן החדשה?

מה הטווח החדש?

תרגיל 3

בעיר אירופית, בחודש יולי, הטמפרטורה היומית הממוצעת הייתה $\displaystyle 25^\circ$ צלזיוס, וסטיית התקן $\displaystyle 4^\circ$ .
מעלות פרנהייט מחשבים מצלזיוס בנוסחה $\displaystyle {F}={1.8C+32}$ .

מה הטמפרטורה הממוצעת במעלות פרנהייט?

מה סטיית התקן במעלות פרנהייט?

תרגיל 4

לארבעה תלמידים יש בספורט ציון ממוצע 75 וסטיית תקן 0.

מה הציונים של ארבעת התלמידים? הסבירו.

מצטרף אליהם תלמיד שהציון שלו 80. מה הממוצע החדש?

מה סטיית התקן החדשה?

אפשר להוסיף לארבעת התלמידים המקוריים תלמידים כך שסטיית התקן תקטן? הסבירו.

תרגיל 5

בבחינה בספרות התקבלו רק הציונים 6, 8 ו-9, והממוצע היה 8.

מה הקשר בין מספר התלמידים שקיבלו 6 לבין מספר התלמידים שקיבלו 9? הסבירו.

שלושה תלמידים נבחנו מאוחר יותר, וכל אחד מהם קיבל 6 או 9. הממוצע הכיתתי לא השתנה. אחד מהם קיבל 9 – מה קיבלו שני האחרים? הסבירו.

תרגיל 6

לכל סעיף תנו דוגמה לחמישה ערכים:

הממוצע שלהם 72;
החציון שלהם 103;
החציון גדול מהממוצע;
החציון שווה לממוצע.

נוסחאות: סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

הצגת נתונים

שכיחות יחסית – $\displaystyle f$ השכיחות של ערך, $\displaystyle n$ מספר כל הנתונים
$\displaystyle \frac{f}{n}$
שכיחות יחסית באחוזים
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot100\%$
הזווית של גזרה בדיאגרמת עיגול
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot360^{\circ}$

מדדי מרכז ומיקום

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
ממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהם
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
ממוצע משוקלל – $\displaystyle w_1, \dots, w_k$ המשקלים של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_kx_k}{w_1+w_2+\dots+w_k}$
ממוצע של נתונים בקבוצות – $\displaystyle m_1, \dots, m_k$ אמצעי הקבוצות, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהן
$\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
מקום העשירון התחתון ברשימה מסודרת; העשירון העליון – $\displaystyle 0.9\cdot n$
$\displaystyle 0.1\cdot n$

מדדי פיזור

הטווח – הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר
$\displaystyle x_{max}-x_{min}$
השונות – הממוצע של ריבועי הסטיות מהממוצע
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$
סטיית התקן – השורש של השונות
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^2}$
שונות מטבלת שכיחויות
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2f_1+\dots+(x_k-\bar{x})^2f_k}{f_1+\dots+f_k}$

כללי ההסתברות

תוצאות שוות הסתברות – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר התוצאות במרחב המדגם
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
ההסתברות של כל מאורע; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ , ו- $\displaystyle {P(U)}={1}$ למרחב המדגם $\displaystyle U$
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
איחוד – $\displaystyle A$ או $\displaystyle B$ (או שניהם); $\displaystyle A\cap B$ – החיתוך, גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
איחוד של מאורעות זרים
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)$ $\displaystyle A\cap B=\emptyset$

הסתברות מותנית ואי־תלות

ההסתברות של $\displaystyle A$ בהינתן $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
מסלול בעץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B)\cdot P(A|B)$
נוסחת ההסתברות השלמה – ממוצע משוקלל של ההסתברויות המותנות
$\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A|B)+P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B})$
נוסחת בייס – מ- $\displaystyle P(B|A)$ אל $\displaystyle P(A|B)$
$\displaystyle P(A|B)\cdot P(B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B|A)\cdot P(A)$
מאורעות בלתי תלויים
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)\cdot P(B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה לא משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)$