מדדי מרכז בנתונים בקבוצות

סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 8 מתוך 20לימוד

מדדי מרכז בנתונים בקבוצות

נתונים בקבוצות

משתנה רציף, כמו גובה, מקבל כמעט בכל פריט ערך אחר. לכן מסדרים את הנתונים בקבוצות שוות רוחב, וסופרים כמה נתונים יש בכל קבוצה.

הגבהים של 14 תלמידי כיתה, בס"מ:
148, 153, 155, 158, 162, 163, 163, 167, 169, 174, 177, 178, 185, 188.

גובה (ס"מ)	140–150	150–160	160–170	170–180	180–190
שכיחות	1	3	5	3	2

הקבוצה 150–160 היא “מ-150 עד פחות מ-160”: תלמיד שגובהו 160 ס"מ נספר בקבוצה 160–170.
בטבלה רואים את התמונה הכללית, אבל כבר לא את הנתונים עצמם.
בהיסטוגרמה העמודות צמודות, כי כל קבוצה מתחילה במקום שבו הקודמת נגמרת:

אמצע הקבוצה והממוצע המוערך

מנתונים בקבוצות אפשר לחשב רק ממוצע מוערך: מניחים שכל הנתונים בקבוצה נמצאים באמצע הקבוצה, ומחשבים כמו בטבלת שכיחויות.

\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}

$\displaystyle m_1, \dots, m_k$ – אמצעי הקבוצות, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ – השכיחויות שלהן.

אמצע הקבוצה 140–150 הוא $\displaystyle {\frac{140+150}{2}}={145}$ , ואמצעי הקבוצות האחרות 155, 165, 175 ו-185.

\bar{x}\approx\frac{145\cdot1+155\cdot3+165\cdot5+175\cdot3+185\cdot2}{14}=\frac{2330}{14}\approx166.43

הממוצע מהרשימה והממוצע מהקבוצות

מהרשימה של 14 הגבהים הממוצע הוא:

\bar{x}=\frac{2340}{14}\approx167.14

שני הממוצעים קרובים, אבל לא שווים.

בחישוב מהקבוצות כל גובה הוחלף באמצע הקבוצה שלו: 148 נחשב 145, ו-169 נחשב 165.
חלק מהנתונים גדלו בהחלפה וחלק קטנו, ולכן ההפרש קטן – אבל רק במקרה הוא 0.
כשיש רק טבלה בקבוצות, הממוצע המוערך הוא הכי טוב שאפשר.

הקבוצה השכיחה

הקבוצה השכיחה היא הקבוצה שהשכיחות שלה הגבוהה ביותר – העמודה הגבוהה ביותר בהיסטוגרמה.

בגבהים הקבוצה השכיחה היא 160–170 ס"מ, עם חמישה תלמידים.
ברשימה עצמה השכיח הוא 163, שנמצא באמת בקבוצה הזאת. אבל השכיח של הרשימה תלוי במקרה: שני תלמידים שגובהם שווה בדיוק. הקבוצה השכיחה מראה את מה שחשוב – איפה הנתונים צפופים.

קבוצת קצה פתוחה

לפעמים לקבוצה הראשונה או לאחרונה אין גבול: “פחות מ-20”, “60 ומעלה”. זו קבוצת קצה פתוחה.

הגילים של המשתתפים בחוג:

גיל	20–30	30–40	40–50	50 ומעלה
שכיחות	7	12	9	5

לקבוצה “50 ומעלה” אין אמצע: אולי כולם בני 52, ואולי בני 80. לכן אי אפשר לחשב ממוצע, אפילו מוערך.
הקבוצה השכיחה היא 30–40 – אותה אפשר למצוא תמיד.

תרגיל 1

שאלו 40 עובדים כמה דקות לוקחת להם הדרך לעבודה:

דקות	0–10	10–20	20–30	30–40
שכיחות	6	14	12	8

חשבו את הממוצע המוערך של משך הדרך.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מהי הקבוצה השכיחה?

תרגיל 2

בדואר שקלו 25 חבילות:

משקל (ק"ג)	0–2	2–4	4–6	6–8
שכיחות	4	9	7	5

חשבו את המשקל הממוצע המוערך של חבילה.

תרגיל 3

ההיסטוגרמה מתארת את הטמפרטורה בצהריים ב-30 ימים:

חשבו את הטמפרטורה הממוצעת המוערךת.

תרגיל 4

הציונים של 25 תלמידים במבחן:

ציון	40–60	60–80	80–100
שכיחות	3	12	10

חשבו את הציון הממוצע המוערך.

המורה חישבה את הממוצע מרשימת הציונים, וקיבלה 76.2. למה הממוצע שלה שונה מהממוצע שחישבתם?

תרגיל 5

זמן ההמתנה של 50 לקוחות במוקד טלפוני:

דקות	0–5	5–10	10–15	15 ומעלה
שכיחות	18	15	10	7

האם אפשר לחשב את זמן ההמתנה הממוצע המוערך? האם אפשר למצוא את הקבוצה השכיחה? הסבירו.

נוסחאות: סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

הצגת נתונים

שכיחות יחסית – $\displaystyle f$ השכיחות של ערך, $\displaystyle n$ מספר כל הנתונים
$\displaystyle \frac{f}{n}$
שכיחות יחסית באחוזים
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot100\%$
הזווית של גזרה בדיאגרמת עיגול
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot360^{\circ}$

מדדי מרכז ומיקום

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
ממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהם
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
ממוצע משוקלל – $\displaystyle w_1, \dots, w_k$ המשקלים של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_kx_k}{w_1+w_2+\dots+w_k}$
ממוצע של נתונים בקבוצות – $\displaystyle m_1, \dots, m_k$ אמצעי הקבוצות, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהן
$\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
מקום העשירון התחתון ברשימה מסודרת; העשירון העליון – $\displaystyle 0.9\cdot n$
$\displaystyle 0.1\cdot n$

מדדי פיזור

הטווח – הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר
$\displaystyle x_{max}-x_{min}$
השונות – הממוצע של ריבועי הסטיות מהממוצע
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$
סטיית התקן – השורש של השונות
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^2}$
שונות מטבלת שכיחויות
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2f_1+\dots+(x_k-\bar{x})^2f_k}{f_1+\dots+f_k}$

כללי ההסתברות

תוצאות שוות הסתברות – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר התוצאות במרחב המדגם
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
ההסתברות של כל מאורע; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ , ו- $\displaystyle {P(U)}={1}$ למרחב המדגם $\displaystyle U$
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
איחוד – $\displaystyle A$ או $\displaystyle B$ (או שניהם); $\displaystyle A\cap B$ – החיתוך, גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
איחוד של מאורעות זרים
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)$ $\displaystyle A\cap B=\emptyset$

הסתברות מותנית ואי־תלות

ההסתברות של $\displaystyle A$ בהינתן $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
מסלול בעץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B)\cdot P(A|B)$
נוסחת ההסתברות השלמה – ממוצע משוקלל של ההסתברויות המותנות
$\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A|B)+P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B})$
נוסחת בייס – מ- $\displaystyle P(B|A)$ אל $\displaystyle P(A|B)$
$\displaystyle P(A|B)\cdot P(B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B|A)\cdot P(A)$
מאורעות בלתי תלויים
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)\cdot P(B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה לא משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)$