דלג לתוכן

עשירונים ורבעונים

סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 9 מתוך 20לימוד

עשירונים ורבעונים

העשירון התחתון והעשירון העליון

החציון מחלק את הנתונים המסודרים לשני חצאים. העשירונים מחלקים אותם לעשרה חלקים, ובכל חלק 10% מהנתונים.

  • העשירון התחתון הוא הערך שמפריד בין 10% הנתונים הקטנים ביותר לשאר הנתונים.
  • העשירון העליון הוא הערך שמפריד בין 10% הנתונים הגדולים ביותר לשאר הנתונים.

בחדשות “העשירון העליון” הוא גם הקבוצה עצמה: 10% משקי הבית שההכנסה שלהם הגבוהה ביותר. העשירון העליון ראוי לתשומת לב משלו: הוא מראה את הקצה של הנתונים, שהממוצע והחציון לא מראים.

המקום של עשירון ברשימה מסודרת

את העשירון מוצאים כמו את החציון: לפי המקום שלו ברשימה מסודרת של n\displaystyle n נתונים.

0.1⋅n\displaystyle 0.1\cdot n

זה המקום של העשירון התחתון; המקום של העשירון העליון הוא 0.9⋅n\displaystyle 0.9\cdot n.

  • כשהמקום k\displaystyle k שלם – העשירון הוא הממוצע של הנתון ה-k\displaystyle k והנתון ה-(k+1)\displaystyle (k+1).
  • כשהמקום אינו שלם – העשירון הוא הנתון שבמקום השלם הבא.

שאלו 20 תלמידים כמה דקות ביום הם קוראים, ומסדרים:
0, 5, 5, 10, 10, 10, 15, 15, 20, 20, 20, 25, 25, 30, 30, 35, 40, 45, 60, 90.

  • העשירון התחתון: המקום 0.1⋅20=2\displaystyle {0.1\cdot20}={2}, ולכן 5+52=5\displaystyle {\frac{5+5}{2}}={5} דקות.
  • העשירון העליון: המקום 0.9⋅20=18\displaystyle {0.9\cdot20}={18}, ולכן 45+602=52.5\displaystyle {\frac{45+60}{2}}={52.5} דקות.

ב-15 נתונים המקום של העשירון התחתון הוא 0.1⋅15=1.5\displaystyle {0.1\cdot15}={1.5}, והעשירון התחתון הוא הנתון השני.

עשירונים מטבלת שכיחויות

בטבלת שכיחויות סופרים אל המקום של העשירון בעזרת השכיחות המצטברת, כמו בחציון.

מספר הפסילות01234
שכיחות416965
שכיחות מצטברת420293540
  • העשירון התחתון: המקום 0.1⋅40=4\displaystyle {0.1\cdot40}={4}. הנתון הרביעי הוא 0, והחמישי 1, ולכן העשירון התחתון 0+12=0.5\displaystyle {\frac{0+1}{2}}={0.5}.
  • העשירון העליון: המקום 0.9⋅40=36\displaystyle {0.9\cdot40}={36}. הנתונים 36–40 הם כולם 4, ולכן העשירון העליון 4.

10% הקופצים עם הכי הרבה פסילות נפסלו ארבע פעמים כל אחד.

הרבעונים

הרבעונים מחלקים את הנתונים המסודרים לארבעה חלקים, ובכל חלק בערך רבע מהנתונים.

  • הרבעון התחתון Q1\displaystyle Q_1 – החציון של החצי התחתון של הנתונים.
  • הרבעון העליון Q3\displaystyle Q_3 – החציון של החצי העליון.
  • החציון עצמו הוא הרבעון האמצעי. כשמספר הנתונים אי־זוגי, החציון לא נכנס לאף חצי.

בפסילות של 40 הקופצים, החציון 1.5:

  • החצי התחתון – הנתונים 1–20; החציון שלו הוא הממוצע של הנתונים ה-10 וה-11, ושניהם 1. לכן Q1=1\displaystyle {Q_1}={1}.
  • החצי העליון – הנתונים 21–40; החציון שלו הוא הממוצע של הנתונים ה-30 וה-31, ושניהם 3. לכן Q3=3\displaystyle {Q_3}={3}.
דיאגרמת קופסה

חמישה מספרים מתארים את הנתונים בקיצור: הנתון הקטן ביותר, Q1\displaystyle Q_1, החציון, Q3\displaystyle Q_3 והנתון הגדול ביותר. דיאגרמת קופסה מציירת אותם על ציר אחד.

דקות הקריאה של 20 התלמידים:

01020304050607080900102032.590דקות קריאה ביום
  • הקופסה נמתחת מ-Q1=10\displaystyle {Q_1}={10} עד Q3=32.5\displaystyle {Q_3}={32.5}, והקו שבתוכה הוא החציון, 20.
  • בתוך הקופסה נמצא חצי הנתונים האמצעי; בכל “שפם” – רבע מהנתונים.
  • השפם הימני ארוך: רבע מהתלמידים קוראים בין 32.5 ל-90 דקות, והנתונים שם מפוזרים על פני טווח רחב.
תרגיל 1

שעות השינה של 20 תלמידים בלילה, מסודרות:
5, 5.5, 6, 6, 6.5, 6.5, 7, 7, 7, 7, 7.5, 7.5, 8, 8, 8, 8.5, 8.5, 9, 9, 10.

א

מצאו את העשירון התחתון.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    מצאו את העשירון העליון.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      מצאו את הרבעון התחתון Q1\displaystyle Q_1.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

        מצאו את הרבעון העליון Q3\displaystyle Q_3.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 2

          מספר השגיאות של 50 תלמידים בהכתבה:

          מספר השגיאות012345
          שכיחות81412952
          א

          מצאו את העשירון התחתון.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

            מצאו את העשירון העליון.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ג

              מצאו את הרבעון העליון Q3\displaystyle Q_3.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 3

                הגילים של 15 חברים בחוג רובוטיקה, מסודרים:
                12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 21.

                א

                מצאו את העשירון התחתון.

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ב

                  מצאו את העשירון העליון.

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    תרגיל 4

                    דיאגרמת הקופסה מתארת את הציונים של 120 תלמידים במבחן במתמטיקה:

                    4050607080901004055708095ציון
                    א

                    כמה תלמידים קיבלו ציון גבוה מ-80?

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ב

                      יואב אומר: “חצי מהתלמידים קיבלו ציון בין 55 ל-80.” האם הוא צודק? הסבירו.

                      תרגיל 5

                      בכתבה נכתב: “ההכנסה החודשית של משק בית בעשירון העליון גבוהה מ-40,000 ₪.”

                      מה המשפט אומר על משקי הבית במדינה? מה הוא לא אומר על ההכנסה של משק בית רגיל?