מאורעות וכללי ההסתברות

סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 14 מתוך 20לימוד

מאורעות וכללי ההסתברות

מרחב המדגם ומאורע

מרחב המדגם הוא קבוצת כל התוצאות האפשריות של ניסוי. מסמנים אותו באות $\displaystyle U$ . מאורע הוא חלק ממרחב המדגם – קבוצה של תוצאות.

מטילים קובייה פעם אחת:

מרחב המדגם: $\displaystyle {U}={\{1,2,3,4,5,6\}}$ .
המאורע $\displaystyle A$ – “יתקבל מספר זוגי”: $\displaystyle {A}={\{2,4,6\}}$ .
המאורע $\displaystyle B$ – “יתקבל מספר גדול מ-3”: $\displaystyle {B}={\{4,5,6\}}$ .

שני מאורעות מיוחדים:

מאורע ודאי – כל מרחב המדגם, $\displaystyle U$ : “יתקבל מספר בין 1 ל-6” קורה תמיד.
מאורע בלתי אפשרי – הקבוצה הריקה, $\displaystyle \emptyset$ : “יתקבל 7” לא קורה אף פעם.

איחוד וחיתוך

משני מאורעות בונים מאורעות חדשים:

האיחוד $\displaystyle A\cup B$ – “ $\displaystyle A$ או $\displaystyle B$ ”: התוצאות שנמצאות לפחות באחד מהם, גם בשניהם. כאן $\displaystyle {A\cup B}={\{2,4,5,6\}}$ .
החיתוך $\displaystyle A\cap B$ – “ $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$ ”: התוצאות שנמצאות בשניהם. כאן $\displaystyle {A\cap B}={\{4,6\}}$ .

בדיאגרמת ון המלבן הוא מרחב המדגם, וכל עיגול הוא מאורע. החלק המשותף לשני העיגולים הוא החיתוך, ושני העיגולים יחד הם האיחוד.

התוצאות 1 ו-3 נמצאות במלבן ומחוץ לעיגולים: הן לא ב- $\displaystyle A$ ולא ב- $\displaystyle B$ .

מאורעות זרים ומאורעות משלימים

שני מאורעות זרים כשאין להם אף תוצאה משותפת: $\displaystyle {A\cap B}={\emptyset}$ . הם לא יכולים לקרות יחד. בדיאגרמת ון העיגולים שלהם לא נוגעים זה בזה.

בהטלת קובייה, “יתקבל 1” ו"יתקבל מספר זוגי" זרים.
“יתקבל מספר זוגי” ו"יתקבל מספר גדול מ-3" אינם זרים: 4 ו-6 נמצאים בשניהם.

המאורע המשלים של $\displaystyle A$ , שמסמנים $\displaystyle \overline{A}$ , הוא כל התוצאות שאינן ב- $\displaystyle A$ : “ $\displaystyle A$ לא קורה”.

$\displaystyle {A}={\{2,4,6\}}$ , ולכן $\displaystyle {\overline{A}}={\{1,3,5\}}$ .
מאורע והמשלים שלו זרים, והאיחוד שלהם הוא כל מרחב המדגם: $\displaystyle {A\cup\overline{A}}={U}$ .

שלוש דרכים לחשב הסתברות

ההסתברות של מאורע היא מספר בין 0 ל-1 שמבטא כמה צפוי שהמאורע יקרה. מחשבים אותה באחת משלוש דרכים, לפי מה שידוע על הניסוי:

תוצאות שוות הסתברות – מספר התוצאות במאורע חלקי מספר התוצאות במרחב המדגם. בקובייה: $\displaystyle {P(A)}={\frac{3}{6}}={\frac{1}{2}}$ .
שכיחות יחסית – כשאין תוצאות שוות הסתברות, חוזרים על הניסוי הרבה פעמים. נעץ שנזרק 500 פעמים נחת על הראש 320 פעמים: $\displaystyle {P\approx\frac{320}{500}}={0.64}$ .
יחס שטחים – כשבוחרים נקודה באקראי בתוך צורה, ההסתברות לפגוע בחלק ממנה היא השטח של החלק חלקי השטח של כל הצורה.

חץ פוגע באקראי בלוח ריבועי שהצלע שלו 40 ס"מ.
במרכז הלוח ריבוע אדום שהצלע שלו 20 ס"מ.
$\displaystyle R$ – המאורע “החץ פוגע בריבוע האדום”.

P(R)=\frac{20\cdot20}{40\cdot40}=\frac{400}{1600}=\frac{1}{4}

כללי ההסתברות

מההגדרה של ההסתברות נובעים כמה כללים, לכל מאורע $\displaystyle A$ ולכל מאורע $\displaystyle B$ :

\displaystyle 0\le P(A)\le1

$\displaystyle {P(U)}={1}$ : מאורע ודאי; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ : מאורע בלתי אפשרי.
אם כל התוצאות של $\displaystyle A$ נמצאות גם ב- $\displaystyle B$ (כותבים $\displaystyle A\subseteq B$ ), אז $\displaystyle P(A)\le P(B)$ . “יתקבל 6” נמצא בתוך “יתקבל מספר זוגי”, ולכן $\displaystyle \frac{1}{6}\le\frac{1}{2}$ .

המאורע המשלים: $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle \overline{A}$ יחד הם כל מרחב המדגם, ולכן ההסתברויות שלהם יחד הן 1.

\displaystyle P(\overline{A})

\displaystyle =

\displaystyle 1-P(A)

איחוד של מאורעות זרים – ההסתברויות מתחברות, כי אף תוצאה לא נספרת פעמיים:

\displaystyle P(A\cup B)

\displaystyle =

\displaystyle P(A)+P(B)

\displaystyle A\cap B=\emptyset

כך גם לכמה מאורעות זרים זה לזה: $\displaystyle {P(A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n)}={P(A_1)+P(A_2)+\dots+P(A_n)}$ .

ההסתברות של איחוד

כשהמאורעות אינם זרים, $\displaystyle P(A)+P(B)$ סופר את החיתוך פעמיים – פעם ב- $\displaystyle A$ ופעם ב- $\displaystyle B$ . לכן מחסירים אותו פעם אחת:

\displaystyle P(A\cup B)

\displaystyle =

\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)

בקובייה: $\displaystyle {P(A)}={\frac{3}{6}}$ , $\displaystyle {P(B)}={\frac{3}{6}}$ , $\displaystyle {P(A\cap B)}={\frac{2}{6}}$ .

P(A\cup B)=\frac{3}{6}+\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

זה מתאים לספירה: $\displaystyle {A\cup B}={\{2,4,5,6\}}$ – ארבע תוצאות מתוך שש.

תרגיל 1

מטילים קובייה פעם אחת.
$\displaystyle C$ – “יתקבל מספר קטן מ-3”.
$\displaystyle D$ – “יתקבל מספר אי־זוגי”.

כתבו את $\displaystyle C$ , את $\displaystyle D$ , את $\displaystyle C\cup D$ ואת $\displaystyle C\cap D$ כקבוצות של תוצאות.

חשבו את $\displaystyle P(C\cup D)$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

האם $\displaystyle C$ ו- $\displaystyle D$ מאורעות זרים? הסבירו.

תרגיל 2

מטילים שתי קוביות.
$\displaystyle A$ – “סכום המספרים הוא 7”.
$\displaystyle B$ – “לפחות באחת הקוביות יצא 6”.

סמנו בטבלה את התוצאות של המאורע $\displaystyle A\cup B$ .

חשבו את $\displaystyle P(A\cup B)$ מהטבלה.

ל- $\displaystyle A$ יש 6 תוצאות, ל- $\displaystyle B$ יש 11, ול- $\displaystyle A\cap B$ יש 2. חשבו את $\displaystyle P(A\cup B)$ בנוסחה של האיחוד.

תרגיל 3

בוחרים באקראי תלמיד בבית ספר.
ההסתברות שהוא משחק בכלי נגינה היא $\displaystyle 0.5$ .
ההסתברות שהוא שר במקהלה היא $\displaystyle 0.4$ .
ההסתברות שהוא גם משחק וגם שר היא $\displaystyle 0.15$ .

מה ההסתברות שהתלמיד משחק בכלי נגינה או שר במקהלה?

מה ההסתברות שהתלמיד לא משחק בכלי נגינה ולא שר במקהלה?

תרגיל 4

$\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ מאורעות זרים.
$\displaystyle {P(A)}={0.3}$ , $\displaystyle {P(B)}={0.45}$ .

חשבו את $\displaystyle P(A\cup B)$ .

רון אומר: “יש שני מאורעות זרים שההסתברויות שלהם $\displaystyle 0.7$ ו- $\displaystyle 0.6$ .” הסבירו למה זה לא ייתכן.

תרגיל 5

חץ פוגע באקראי בלוח ריבועי שהצלע שלו 50 ס"מ.
במרכז הלוח עיגול שהרדיוס שלו 10 ס"מ.

מה ההסתברות שהחץ יפגע בעיגול? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

נוסחאות: סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

הצגת נתונים

שכיחות יחסית – $\displaystyle f$ השכיחות של ערך, $\displaystyle n$ מספר כל הנתונים
$\displaystyle \frac{f}{n}$
שכיחות יחסית באחוזים
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot100\%$
הזווית של גזרה בדיאגרמת עיגול
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot360^{\circ}$

מדדי מרכז ומיקום

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
ממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהם
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
ממוצע משוקלל – $\displaystyle w_1, \dots, w_k$ המשקלים של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_kx_k}{w_1+w_2+\dots+w_k}$
ממוצע של נתונים בקבוצות – $\displaystyle m_1, \dots, m_k$ אמצעי הקבוצות, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהן
$\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
מקום העשירון התחתון ברשימה מסודרת; העשירון העליון – $\displaystyle 0.9\cdot n$
$\displaystyle 0.1\cdot n$

מדדי פיזור

הטווח – הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר
$\displaystyle x_{max}-x_{min}$
השונות – הממוצע של ריבועי הסטיות מהממוצע
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$
סטיית התקן – השורש של השונות
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^2}$
שונות מטבלת שכיחויות
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2f_1+\dots+(x_k-\bar{x})^2f_k}{f_1+\dots+f_k}$

כללי ההסתברות

תוצאות שוות הסתברות – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר התוצאות במרחב המדגם
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
ההסתברות של כל מאורע; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ , ו- $\displaystyle {P(U)}={1}$ למרחב המדגם $\displaystyle U$
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
איחוד – $\displaystyle A$ או $\displaystyle B$ (או שניהם); $\displaystyle A\cap B$ – החיתוך, גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
איחוד של מאורעות זרים
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)$ $\displaystyle A\cap B=\emptyset$

הסתברות מותנית ואי־תלות

ההסתברות של $\displaystyle A$ בהינתן $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
מסלול בעץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B)\cdot P(A|B)$
נוסחת ההסתברות השלמה – ממוצע משוקלל של ההסתברויות המותנות
$\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A|B)+P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B})$
נוסחת בייס – מ- $\displaystyle P(B|A)$ אל $\displaystyle P(A|B)$
$\displaystyle P(A|B)\cdot P(B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B|A)\cdot P(A)$
מאורעות בלתי תלויים
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)\cdot P(B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה לא משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)$