טבלאות שכיחויות

סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 2 מתוך 20לימוד

טבלאות שכיחויות

מרשימה לטבלת שכיחויות

טבלת שכיחויות מסכמת רשימה ארוכה: בשורה אחת ערכי המשתנה, ומתחת לכל ערך השכיחות שלו – כמה פעמים הוא מופיע ברשימה.

שאלו 20 תלמידים כמה ספרים הם קראו בחופש הגדול. התשובות, ברשימה:
2, 0, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 0, 2, 3, 2, 1, 5, 2, 3, 1, 2, 4, 0

מספר הספרים	0	1	2	3	4	5	סך הכול
שכיחות	3	4	7	3	2	1	20

סופרים כל ערך פעם אחת, ומוחקים אותו ברשימה כדי לא לספור פעמיים.
סכום השכיחויות הוא מספר הנתונים: $\displaystyle {3+4+7+3+2+1}={20}$ .
בטבלה רואים מיד שהתשובה הנפוצה היא 2 ספרים; ברשימה צריך לחפש.

שכיחות יחסית

השכיחות היחסית של ערך היא השכיחות שלו חלקי מספר כל הנתונים – איזה חלק מהנתונים הוא. כותבים אותה כשבר, כמספר עשרוני או באחוזים.

\displaystyle \frac{f}{n}

$\displaystyle f$ – השכיחות של הערך, $\displaystyle n$ – מספר כל הנתונים.

מספר הספרים	0	1	2	3	4	5	סך הכול
שכיחות	3	4	7	3	2	1	20
שכיחות יחסית	0.15	0.2	0.35	0.15	0.1	0.05	1
באחוזים	15%	20%	35%	15%	10%	5%	100%

למשל, 7 מתוך 20 תלמידים קראו 2 ספרים: $\displaystyle {\frac{7}{20}}={0.35}={35\%}$ . סכום השכיחויות היחסיות הוא תמיד 1, כלומר 100%.

שכיחות מצטברת

השכיחות המצטברת של ערך היא מספר הנתונים שקטנים ממנו או שווים לו. מקבלים אותה כשמחברים את השכיחויות משמאל לימין, מהערך הקטן ביותר.

מספר הספרים	0	1	2	3	4	5
שכיחות	3	4	7	3	2	1
שכיחות מצטברת	3	7	14	17	19	20

14 תלמידים קראו 2 ספרים או פחות: $\displaystyle {3+4+7}={14}$ .
השכיחות המצטברת של הערך האחרון היא מספר כל הנתונים, 20.
מההפרש בין שתי שכיחויות מצטברות סמוכות חוזרים לשכיחות: $\displaystyle {17-14}={3}$ תלמידים קראו בדיוק 3 ספרים.

טבלה של קבוצות

כשלמשתנה כמותי רציף יש הרבה ערכים שונים, טבלה של ערך בכל עמודה יוצאת ארוכה, ובכל עמודה שכיחות 1 או 2. אז מחלקים את הערכים לקבוצות ברוחב שווה, וסופרים כמה נתונים יש בכל קבוצה.

הגבהים של 14 תלמידי כיתה, בס"מ:
148, 153, 155, 158, 162, 163, 163, 167, 169, 174, 177, 178, 185, 188

גובה (ס"מ)	140–150	150–160	160–170	170–180	180–190
שכיחות	1	3	5	3	2

הקבוצה 160–170 היא “מ-160 עד פחות מ-170”: תלמיד שגובהו 170 ס"מ נספר בקבוצה 170–180.
כל הקבוצות ברוחב 10 ס"מ.
לפעמים לקבוצת הקצה אין גבול: “180 ומעלה” או “פחות מ-150”. זו קבוצה פתוחה – הגבול שלה לא ידוע.

מה כל טבלה שומרת ומה היא מאבדת

כל סוג של טבלה עונה טוב על שאלה אחרת, ובכל מעבר בין טבלאות משהו נשמר ומשהו הולך לאיבוד.

רשימה – כל הנתונים עצמם, אבל קשה לראות בה את התמונה הכללית.
טבלת שכיחויות – כמה פעמים כל ערך הופיע; הסדר שבו הנתונים נאספו אובד.
טבלה של קבוצות – התמונה הכללית; הערכים המדויקים בתוך כל קבוצה אובדים.
שכיחות יחסית – מאפשרת להשוות קבוצות בגודל שונה; מספר הנתונים אובד, אם לא כותבים אותו.
שכיחות מצטברת – עונה מיד על “כמה נתונים עד ערך מסוים”.

דוגמה: בכיתה י'1, 7 מתוך 20 תלמידים קראו 2 ספרים; בכיתה י'2, 8 מתוך 32. בכיתה י'2 יש יותר תלמידים כאלה, אבל החלק שלהם קטן יותר: $\displaystyle {\frac{7}{20}}={35\%}$ לעומת $\displaystyle {\frac{8}{32}}={25\%}$ .

תרגיל 1

שאלו 25 תלמידים כמה אחים ואחיות יש להם. התשובות:
1, 2, 0, 1, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 5

בנו טבלת שכיחויות של הנתונים.

מה השכיחות היחסית, באחוזים, של התלמידים שיש להם אח או אחות אחד בדיוק?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

לכמה תלמידים יש 2 אחים ואחיות או פחות?

תרגיל 2

בבנק דם רשמו את סוג הדם של התורמים בחודש אחד:

סוג דם	O	A	B	AB
שכיחות יחסית	38%	34%	?	8%

מה השכיחות היחסית של סוג הדם B?

באותו חודש תרמו דם 500 אנשים. לכמה מהם סוג דם B?

תרגיל 3

ב-30 מבחנים בנהיגה ספרו כמה שגיאות עשה כל נבחן. זו טבלת השכיחויות המצטברות:

מספר השגיאות	0	1	2	3	4
שכיחות מצטברת	5	12	22	27	30

כמה נבחנים עשו בדיוק 2 שגיאות?

כמה אחוזים מהנבחנים עשו שגיאה אחת לכל היותר?

כמה נבחנים עשו 3 שגיאות או יותר?

תרגיל 4

30 תלמידים רצו קילומטר אחד, ומדדו את הזמן של כל אחד בדקות:

זמן (דקות)	4–5	5–6	6–7	7–8	8 ומעלה
שכיחות	3	6	12	6	3

כמה אחוזים מהתלמידים רצו את הקילומטר בפחות מ-6 דקות?

הקבוצה האחרונה פתוחה. מה אי אפשר לדעת עליה מהטבלה?

תרגיל 5

בכיתה י'1 25 תלמידים, ול-9 מהם יש כלב.
בכיתה י'2 40 תלמידים, ול-12 מהם יש כלב.

כמה אחוזים מתלמידי י'1 מגדלים כלב?

כמה אחוזים מתלמידי י'2 מגדלים כלב?

דנה אומרת: “בי'2 מגדלים יותר כלבים, כי 12 גדול מ-9.” האם המסקנה נכונה? הסבירו.

נוסחאות: סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

הצגת נתונים

שכיחות יחסית – $\displaystyle f$ השכיחות של ערך, $\displaystyle n$ מספר כל הנתונים
$\displaystyle \frac{f}{n}$
שכיחות יחסית באחוזים
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot100\%$
הזווית של גזרה בדיאגרמת עיגול
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot360^{\circ}$

מדדי מרכז ומיקום

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
ממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהם
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
ממוצע משוקלל – $\displaystyle w_1, \dots, w_k$ המשקלים של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_kx_k}{w_1+w_2+\dots+w_k}$
ממוצע של נתונים בקבוצות – $\displaystyle m_1, \dots, m_k$ אמצעי הקבוצות, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהן
$\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
מקום העשירון התחתון ברשימה מסודרת; העשירון העליון – $\displaystyle 0.9\cdot n$
$\displaystyle 0.1\cdot n$

מדדי פיזור

הטווח – הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר
$\displaystyle x_{max}-x_{min}$
השונות – הממוצע של ריבועי הסטיות מהממוצע
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$
סטיית התקן – השורש של השונות
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^2}$
שונות מטבלת שכיחויות
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2f_1+\dots+(x_k-\bar{x})^2f_k}{f_1+\dots+f_k}$

כללי ההסתברות

תוצאות שוות הסתברות – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר התוצאות במרחב המדגם
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
ההסתברות של כל מאורע; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ , ו- $\displaystyle {P(U)}={1}$ למרחב המדגם $\displaystyle U$
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
איחוד – $\displaystyle A$ או $\displaystyle B$ (או שניהם); $\displaystyle A\cap B$ – החיתוך, גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
איחוד של מאורעות זרים
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)$ $\displaystyle A\cap B=\emptyset$

הסתברות מותנית ואי־תלות

ההסתברות של $\displaystyle A$ בהינתן $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
מסלול בעץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B)\cdot P(A|B)$
נוסחת ההסתברות השלמה – ממוצע משוקלל של ההסתברויות המותנות
$\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A|B)+P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B})$
נוסחת בייס – מ- $\displaystyle P(B|A)$ אל $\displaystyle P(A|B)$
$\displaystyle P(A|B)\cdot P(B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B|A)\cdot P(A)$
מאורעות בלתי תלויים
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)\cdot P(B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה לא משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)$