הממוצע והממוצע המשוקלל

סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 6 מתוך 20לימוד

הממוצע והממוצע המשוקלל

ממוצע מרשימה

הממוצע הוא סכום הנתונים מחולק במספר הנתונים. הוא הערך שכל נתון היה מקבל אילו הסכום היה מתחלק שווה בשווה.

\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}

הציונים של רמי באנגלית במשך השנה:
60, 65, 70, 62, 87, 77.

\bar{x}=\frac{60+65+70+62+87+77}{6}=\frac{421}{6}\approx70.17

הממוצע אינו מספר שלם, ולכן מעגלים אותו – כאן לשתי ספרות אחרי הנקודה – וכותבים $\displaystyle \approx$ .

ממוצע מטבלת שכיחויות

בטבלת שכיחויות כל ערך מופיע כמה פעמים, ולכן במקום לחבר אותו שוב ושוב כופלים אותו בשכיחות שלו. מחלקים בסכום השכיחויות – מספר כל הנתונים.

\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}

מספר הפסילות של 40 קופצים לגובה בתחרות:

מספר הפסילות	0	1	2	3	4
שכיחות	4	16	9	6	5

\bar{x}=\frac{0\cdot4+1\cdot16+2\cdot9+3\cdot6+4\cdot5}{40}=\frac{72}{40}=1.8

לקופץ היו בממוצע 1.8 פסילות. אף קופץ לא נפסל 1.8 פעמים: הממוצע אינו חייב להיות אחד מהערכים.

ממוצע מדיאגרמת עמודות

בדיאגרמת עמודות של משתנה כמותי, ערכי המשתנה כתובים מתחת לעמודות, והגובה של כל עמודה הוא השכיחות. קוראים מהדיאגרמה טבלת שכיחויות, ומחשבים כמו בטבלה.

מספר השערים בכל אחד מ-20 משחקי הליגה בעונה:

\bar{x}=\frac{0\cdot4+1\cdot6+2\cdot5+3\cdot3+4\cdot2}{20}=\frac{33}{20}=1.65

בכל משחק הובקעו בממוצע 1.65 שערים.

התכונות של הממוצע

הממוצע מחושב מכל הנתונים, וזה היתרון שלו וגם החיסרון שלו.

הממוצע נמצא בין הנתון הקטן ביותר לנתון הגדול ביותר (או שווה לאחד מהם, כשכל הנתונים שווים).
הוא לא חייב להיות אחד מהנתונים: 1.8 פסילות.
יש לו אותן יחידות כמו לנתונים: ציון, שערים, דקות.
נתון קיצוני אחד מזיז אותו הרבה: אילו לרמי היה גם ציון 0, הממוצע היה יורד ל- $\displaystyle \frac{421}{7}\approx60.14$ .
אין ממוצע למשתנה איכותי: אי אפשר לחבר “באופניים” ו"ברגל".

נתון חסר מתוך ממוצע ידוע

כשהממוצע ידוע, גם הסכום ידוע: הסכום הוא הממוצע כפול מספר הנתונים. מכאן מוצאים נתון חסר.

הממוצע של השכר לשעה של שישה עובדים זמניים הוא 50 ₪.
השכר של חמישה מהם: 50, 48, 53, 52, 45 ₪.

נסמן ב- $\displaystyle x$ את השכר של העובד השישי:

\frac{50+48+53+52+45+x}{6}=50

248+x=300

x=52

העובד השישי מרוויח 52 ₪ לשעה.

הממוצע המשוקלל

בממוצע משוקלל לכל ערך יש משקל – כמה הוא נחשב. כופלים כל ערך במשקל שלו, ומחלקים בסכום המשקלים.

\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_kx_k}{w_1+w_2+\dots+w_k}

הציון של דנה במתמטיקה מורכב משני חלקים:

המבחן – 60% מהציון; דנה קיבלה בו 85.
העבודה – 40% מהציון; דנה קיבלה בה 70.

\bar{x}=\frac{60\cdot85+40\cdot70}{60+40}=\frac{5100+2800}{100}=79

הממוצע הרגיל של 85 ו-70 הוא 77.5. הציון של דנה גבוה ממנו, כי למבחן, שבו הציון גבוה יותר, יש משקל גדול יותר. גם הממוצע מטבלת שכיחויות הוא ממוצע משוקלל: המשקלים הם השכיחויות.

תרגיל 1

הציונים של תמר באנגלית במשך השנה:
10, 85, 92, 87, 100, 93.
את הציון 10 קיבלה במבחן שבו הייתה חולה.

חשבו את הממוצע של הציונים של תמר. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את הממוצע של חמשת הציונים האחרים, בלי הציון 10.

איזה משני הממוצעים מתאר טוב יותר איך תמר יודעת אנגלית? הסבירו.

תרגיל 2

בכניסה לחניון ספרו כמה אנשים יש בכל אחת מ-40 מכוניות:

מספר האנשים במכונית	1	2	3	4
שכיחות	12	15	8	5

חשבו את מספר האנשים הממוצע במכונית.

תרגיל 3

שאלו 25 תלמידים כמה ספרים קראו בחופשה:

חשבו את מספר הספרים הממוצע לתלמיד.

תרגיל 4

הממוצע של חמשת המבחנים של עידו הוא 82.
הציונים בארבעה מהם: 78, 90, 74, 85.

פתרו את המשוואה: מה הציון $\displaystyle x$ במבחן החמישי?

תרגיל 5

בבית קלייה מערבבים שלושה סוגי קפה:

20 ק"ג קפה במחיר 40 ₪ לק"ג;
30 ק"ג קפה במחיר 50 ₪ לק"ג;
50 ק"ג קפה במחיר 60 ₪ לק"ג.

מה המחיר הממוצע של ק"ג אחד בתערובת?

תרגיל 6

כתבו “נכון” או “לא נכון”. על “נכון” הסבירו למה; על “לא נכון” תנו דוגמה נגדית.

הממוצע חייב להיות אחד מהנתונים.
הממוצע נמצא בין הנתון הקטן ביותר (כולל) לנתון הגדול ביותר (כולל).
הוספה של נתון 0 לנתונים לא משנה את הממוצע.

נוסחאות: סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

הצגת נתונים

שכיחות יחסית – $\displaystyle f$ השכיחות של ערך, $\displaystyle n$ מספר כל הנתונים
$\displaystyle \frac{f}{n}$
שכיחות יחסית באחוזים
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot100\%$
הזווית של גזרה בדיאגרמת עיגול
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot360^{\circ}$

מדדי מרכז ומיקום

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
ממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהם
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
ממוצע משוקלל – $\displaystyle w_1, \dots, w_k$ המשקלים של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_kx_k}{w_1+w_2+\dots+w_k}$
ממוצע של נתונים בקבוצות – $\displaystyle m_1, \dots, m_k$ אמצעי הקבוצות, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהן
$\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
מקום העשירון התחתון ברשימה מסודרת; העשירון העליון – $\displaystyle 0.9\cdot n$
$\displaystyle 0.1\cdot n$

מדדי פיזור

הטווח – הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר
$\displaystyle x_{max}-x_{min}$
השונות – הממוצע של ריבועי הסטיות מהממוצע
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$
סטיית התקן – השורש של השונות
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^2}$
שונות מטבלת שכיחויות
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2f_1+\dots+(x_k-\bar{x})^2f_k}{f_1+\dots+f_k}$

כללי ההסתברות

תוצאות שוות הסתברות – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר התוצאות במרחב המדגם
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
ההסתברות של כל מאורע; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ , ו- $\displaystyle {P(U)}={1}$ למרחב המדגם $\displaystyle U$
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
איחוד – $\displaystyle A$ או $\displaystyle B$ (או שניהם); $\displaystyle A\cap B$ – החיתוך, גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
איחוד של מאורעות זרים
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)$ $\displaystyle A\cap B=\emptyset$

הסתברות מותנית ואי־תלות

ההסתברות של $\displaystyle A$ בהינתן $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
מסלול בעץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B)\cdot P(A|B)$
נוסחת ההסתברות השלמה – ממוצע משוקלל של ההסתברויות המותנות
$\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A|B)+P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B})$
נוסחת בייס – מ- $\displaystyle P(B|A)$ אל $\displaystyle P(A|B)$
$\displaystyle P(A|B)\cdot P(B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B|A)\cdot P(A)$
מאורעות בלתי תלויים
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)\cdot P(B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה לא משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)$