החציון והשכיח

סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 7 מתוך 20לימוד

החציון והשכיח

החציון

החציון הוא הנתון האמצעי ברשימה מסודרת מהקטן לגדול: חצי מהנתונים קטנים ממנו או שווים לו, וחצי גדולים ממנו או שווים לו.

\displaystyle \frac{n+1}{2}

זה המקום של החציון ברשימה המסודרת, כש- $\displaystyle n$ מספר הנתונים.

מספר אי־זוגי של נתונים – החציון הוא הנתון שבמקום האמצעי. זמני ההמתנה של שבעה מטופלים במרפאה, בדקות: 3, 5, 5, 6, 8, 12, 30. המקום $\displaystyle {\frac{7+1}{2}}={4}$ , והחציון 6 דקות.
מספר זוגי של נתונים – המקום יוצא חצי, והחציון הוא הממוצע של שני הנתונים האמצעיים. הציונים של רמי, מסודרים: 60, 62, 65, 70, 77, 87. המקום $\displaystyle {\frac{6+1}{2}}={3.5}$ , והחציון $\displaystyle {\frac{65+70}{2}}={67.5}$ .

ההמתנה של 30 דקות לא משנה את החציון: אילו הייתה 13 דקות, החציון היה נשאר 6. הממוצע, לעומת זאת, $\displaystyle \frac{69}{7}\approx9.86$ , גדל בגללה.

החציון מטבלת שכיחויות

בטבלת שכיחויות שבה כל עמודה היא ערך אחד, הנתונים כבר מסודרים. מוצאים את המקום של החציון, וסופרים אליו בעזרת השכיחות המצטברת.

הפסילות של 40 הקופצים:

מספר הפסילות	0	1	2	3	4
שכיחות	4	16	9	6	5
שכיחות מצטברת	4	20	29	35	40

המקום: $\displaystyle {\frac{40+1}{2}}={20.5}$ – בין הנתון ה-20 לנתון ה-21.
הנתונים 5–20 הם 1, והנתונים 21–29 הם 2.
החציון: $\displaystyle {\frac{1+2}{2}}={1.5}$ .

בדיאגרמת עמודות סופרים באותה דרך: מחברים את הגבהים של העמודות, משמאל לימין, עד שמגיעים למקום של החציון.

השכיח

השכיח הוא הערך שהשכיחות שלו הגבוהה ביותר – הערך שמופיע הכי הרבה פעמים.

בפסילות של הקופצים השכיח הוא 1: 16 קופצים נפסלו פעם אחת.
לשכיח לא צריך חשבון, ולכן יש שכיח גם למשתנה איכותי: אופן ההגעה השכיח לבית הספר הוא “ברגל”. זה מדד המרכז היחיד שמתאים למשתנה איכותי.
יכולים להיות שני שכיחים: בנתונים 2, 3, 3, 5, 7, 7 השכיחים הם 3 ו-7.
כשכל ערך מופיע אותו מספר פעמים, אין שכיח: לציונים של רמי אין שכיח.

היתרונות והחסרונות של מדדי המרכז

כל מדד מרכז מסכם את הנתונים במספר אחד בדרך אחרת, ולכל אחד יש מצבים שבהם הוא מתאים.

הממוצע
- מחושב מכל הנתונים.
- מושפע מאוד מנתון קיצוני.
- אין ממוצע למשתנה איכותי.
החציון
- לא מושפע מנתונים קיצוניים.
- תלוי רק בנתונים שבאמצע; כל השאר יכולים לגדול או לקטון בלי לשנות אותו.
- אין חציון למשתנה איכותי: אי אפשר לסדר את הערכים מהקטן לגדול.
השכיח
- קל למצוא, ומתאים לכל סוג של משתנה.
- לא מושפע מנתונים קיצוניים.
- משמעותי רק כשיש הרבה נתונים וערך אחד בולט; לפעמים אין שכיח, או שיש כמה.

בחירת מדד המרכז המתאים

כשיש נתון קיצוני, החציון מתאר את רוב הנתונים טוב יותר מהממוצע.

הציונים של תמר, מסודרים: 10, 85, 87, 92, 93, 100.

הממוצע: $\displaystyle \frac{467}{6}\approx77.83$ – נמוך מחמישה מששת הציונים, בגלל הציון 10.
החציון: $\displaystyle {\frac{87+92}{2}}={89.5}$ – קרוב לרוב הציונים.
שכיח: אין, כי כל ציון מופיע פעם אחת.

החציון מייצג את הציונים של תמר טוב יותר. כשאין נתון קיצוני, כמו אצל רמי, הממוצע מתאים, כי הוא משתמש בכל הנתונים.

תרגיל 1

הציונים של נעמה באנגלית במשך השנה:
57, 65, 88, 90, 70, 75.

מצאו את החציון של הציונים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את הממוצע של הציונים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

רוצים להשוות בין הציונים של רמי, של תמר ושל נעמה. איזה מדד מרכז מתאים להשוואה הזאת? הסבירו.

תרגיל 2

שאלו 30 תלמידים כמה אחים ואחיות יש להם:

מספר האחים	0	1	2	3	4
שכיחות	5	11	8	4	2

מצאו את החציון.

מצאו את השכיח.

חשבו את הממוצע. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 3

בחברה קטנה עשרה עובדים.
שישה עובדים מרוויחים 7,000 ₪ בחודש.
שלושה עובדים מרוויחים 8,000 ₪ בחודש.
המנהל מרוויח 40,000 ₪ בחודש.

חשבו את המשכורת הממוצעת.

מצאו את המשכורת החציונית.

החברה מפרסמת מודעת דרושים: “המשכורת אצלנו – יותר מ-10,000 ₪ בממוצע”. מה המודעה מסתירה? איזה מדד מתאר טוב יותר את המשכורת של עובד רגיל?

תרגיל 4

שאלו 30 תלמידים מהו ענף הספורט האהוב עליהם:

איזה מדד מרכז אפשר למצוא לנתונים האלה, ומהו? למה אי אפשר למצוא את שני המדדים האחרים?

תרגיל 5

תנו דוגמה לחמישה נתונים לכל סעיף:

החציון שלהם 103;
החציון גדול מהממוצע;
החציון שווה לממוצע.

נוסחאות: סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

הצגת נתונים

שכיחות יחסית – $\displaystyle f$ השכיחות של ערך, $\displaystyle n$ מספר כל הנתונים
$\displaystyle \frac{f}{n}$
שכיחות יחסית באחוזים
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot100\%$
הזווית של גזרה בדיאגרמת עיגול
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot360^{\circ}$

מדדי מרכז ומיקום

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
ממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהם
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
ממוצע משוקלל – $\displaystyle w_1, \dots, w_k$ המשקלים של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_kx_k}{w_1+w_2+\dots+w_k}$
ממוצע של נתונים בקבוצות – $\displaystyle m_1, \dots, m_k$ אמצעי הקבוצות, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהן
$\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
מקום העשירון התחתון ברשימה מסודרת; העשירון העליון – $\displaystyle 0.9\cdot n$
$\displaystyle 0.1\cdot n$

מדדי פיזור

הטווח – הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר
$\displaystyle x_{max}-x_{min}$
השונות – הממוצע של ריבועי הסטיות מהממוצע
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$
סטיית התקן – השורש של השונות
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^2}$
שונות מטבלת שכיחויות
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2f_1+\dots+(x_k-\bar{x})^2f_k}{f_1+\dots+f_k}$

כללי ההסתברות

תוצאות שוות הסתברות – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר התוצאות במרחב המדגם
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
ההסתברות של כל מאורע; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ , ו- $\displaystyle {P(U)}={1}$ למרחב המדגם $\displaystyle U$
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
איחוד – $\displaystyle A$ או $\displaystyle B$ (או שניהם); $\displaystyle A\cap B$ – החיתוך, גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
איחוד של מאורעות זרים
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)$ $\displaystyle A\cap B=\emptyset$

הסתברות מותנית ואי־תלות

ההסתברות של $\displaystyle A$ בהינתן $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
מסלול בעץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B)\cdot P(A|B)$
נוסחת ההסתברות השלמה – ממוצע משוקלל של ההסתברויות המותנות
$\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A|B)+P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B})$
נוסחת בייס – מ- $\displaystyle P(B|A)$ אל $\displaystyle P(A|B)$
$\displaystyle P(A|B)\cdot P(B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B|A)\cdot P(A)$
מאורעות בלתי תלויים
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)\cdot P(B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה לא משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)$