אוכלוסייה, מדגם ומשתנה

סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 1 מתוך 20לימוד

אוכלוסייה, מדגם ומשתנה

אוכלוסייה ומדגם

אוכלוסייה היא כל הפריטים שרוצים ללמוד עליהם – אנשים, בתים, ימים, מכוניות. מדגם הוא חלק מהאוכלוסייה שבודקים בפועל.

מועצת התלמידים רוצה לדעת כמה זמן לוקחת לתלמידי בית הספר הדרך לבית הספר.
בבית הספר 600 תלמידים.
המועצה שאלה 120 מהם.

האוכלוסייה: 600 תלמידי בית הספר.
המדגם: 120 התלמידים שנשאלו.
בודקים מדגם כשאי אפשר, או יקר מדי, לבדוק את כל האוכלוסייה.
כדי שהמדגם ילמד משהו על האוכלוסייה, הוא צריך להיות דומה לה: 120 תלמידים מכל השכבות, ולא רק מכיתה אחת.

משתנה וערכי המשתנה

משתנה הוא תכונה שבודקים אצל כל פריט, והיא יכולה להיות שונה מפריט לפריט. כל מה שהמשתנה יכול לקבל הם ערכי המשתנה.

בסקר של מועצת התלמידים שאלו שתי שאלות:

“כמה דקות לוקחת לך הדרך לבית הספר?” – המשתנה: משך הדרך; ערכים כמו 5 דקות, 12.5 דקות, 40 דקות.
“איך אתם מגיעים לבית הספר?” – המשתנה: אופן ההגעה; הערכים: ברגל, באופניים, בהסעה, ברכב פרטי.

נתון הוא הערך שהתקבל אצל פריט אחד: לתלמיד אחד הדרך לוקחת 12 דקות, והוא מגיע באופניים.

סוגי המשתנים

סוג המשתנה קובע מה אפשר לעשות עם הנתונים: לחשב ממוצע, לסדר מהקטן לגדול, או רק לספור.

משתנה איכותי (נקרא גם שמי) – הערכים הם שמות של קבוצות, לא מספרים: צבע עיניים, סוג דם, אופן ההגעה לבית הספר. אין משמעות לסדר בין הערכים או לחשבון איתם.
משתנה כמותי – הערכים הם מספרים שמודדים או סופרים בהם משהו:
- בדיד – ערכים נפרדים, בדרך כלל שלמים, שסופרים אותם: מספר הנפשות במשפחה, מספר האחים, מספר השגיאות במבחן.
- רציף – כל ערך בתחום אפשרי, ומודדים אותו: גובה, משקל, טמפרטורה, משך הדרך, שעה.

מספר אינו הופך משתנה לכמותי: מספר טלפון או מספר חולצה של שחקן הם שמות, ולכן המשתנה איכותי. חשבון איתם חסר משמעות.

התפלגות הנתונים

התפלגות הנתונים אומרת אילו ערכים התקבלו וכמה פעמים כל אחד מהם. מספר הפעמים שערך התקבל נקרא השכיחות שלו.

אופן ההגעה של 120 התלמידים במדגם:

ברגל – 42 תלמידים;
באופניים – 18;
בהסעה – 36;
ברכב פרטי – 24.

ההתפלגות מראה את התמונה כולה: הערך שהתקבל הכי הרבה פעמים הוא “ברגל”, והשכיחויות יחד הן כל המדגם, $\displaystyle {42+18+36+24}={120}$ .

תרגיל 1

לכל משתנה כתבו אם הוא איכותי, כמותי בדיד או כמותי רציף:

מספר ההודעות שתלמיד שולח ביום;
הזמן שלוקח לרוץ 100 מטר;
ענף הספורט האהוב;
מספר הנעליים;
כמות הגשם שירדה ביום, במילימטרים;
העיר שבה נולדתם.

תרגיל 2

בעירייה רוצים לדעת כמה שעות בשבוע בני נוער בעיר מתנדבים.
בעיר 8,000 בני נוער.
העירייה שאלה 400 מהם.

מה האוכלוסייה, מה המדגם ומה המשתנה? מה סוג המשתנה?

כמה אחוזים מהאוכלוסייה הם המדגם?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 3

בדקו כמה ילדים יש ב-50 משפחות בשכונה:

מספר הילדים	0	1	2	3	4
מספר המשפחות	6	11	17	10	6

מה המשתנה, ומה סוגו? מה ערכי המשתנה?

כמה ילדים יש בכל 50 המשפחות יחד?

תרגיל 4

נועה אומרת: “מספר תעודת הזהות הוא מספר, ולכן המשתנה ‘מספר תעודת הזהות’ הוא כמותי.”

האם נועה צודקת? הסבירו.

נוסחאות: סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

הצגת נתונים

שכיחות יחסית – $\displaystyle f$ השכיחות של ערך, $\displaystyle n$ מספר כל הנתונים
$\displaystyle \frac{f}{n}$
שכיחות יחסית באחוזים
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot100\%$
הזווית של גזרה בדיאגרמת עיגול
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot360^{\circ}$

מדדי מרכז ומיקום

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
ממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהם
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
ממוצע משוקלל – $\displaystyle w_1, \dots, w_k$ המשקלים של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_kx_k}{w_1+w_2+\dots+w_k}$
ממוצע של נתונים בקבוצות – $\displaystyle m_1, \dots, m_k$ אמצעי הקבוצות, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהן
$\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
מקום העשירון התחתון ברשימה מסודרת; העשירון העליון – $\displaystyle 0.9\cdot n$
$\displaystyle 0.1\cdot n$

מדדי פיזור

הטווח – הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר
$\displaystyle x_{max}-x_{min}$
השונות – הממוצע של ריבועי הסטיות מהממוצע
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$
סטיית התקן – השורש של השונות
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^2}$
שונות מטבלת שכיחויות
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2f_1+\dots+(x_k-\bar{x})^2f_k}{f_1+\dots+f_k}$

כללי ההסתברות

תוצאות שוות הסתברות – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר התוצאות במרחב המדגם
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
ההסתברות של כל מאורע; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ , ו- $\displaystyle {P(U)}={1}$ למרחב המדגם $\displaystyle U$
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
איחוד – $\displaystyle A$ או $\displaystyle B$ (או שניהם); $\displaystyle A\cap B$ – החיתוך, גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
איחוד של מאורעות זרים
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)$ $\displaystyle A\cap B=\emptyset$

הסתברות מותנית ואי־תלות

ההסתברות של $\displaystyle A$ בהינתן $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
מסלול בעץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B)\cdot P(A|B)$
נוסחת ההסתברות השלמה – ממוצע משוקלל של ההסתברויות המותנות
$\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A|B)+P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B})$
נוסחת בייס – מ- $\displaystyle P(B|A)$ אל $\displaystyle P(A|B)$
$\displaystyle P(A|B)\cdot P(B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B|A)\cdot P(A)$
מאורעות בלתי תלויים
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)\cdot P(B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה לא משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)$