תרגול: הסתברות

סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 19 מתוך 20תרגול

תרגול: הסתברות

$\displaystyle {P(A)}={0.5}$ , $\displaystyle {P(B)}={0.4}$ , $\displaystyle {P(A\cap B)}={0.15}$ .

חשבו את $\displaystyle P(A\cup B)$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מה ההסתברות שלא יקרה אף אחד משני המאורעות?

מה ההסתברות ש- $\displaystyle A$ יקרה ו- $\displaystyle B$ לא יקרה?

שאלו 300 תושבים של עיר איך הם מגיעים לעבודה או ללימודים:

	באוטובוס	באופניים	ברכב פרטי	סך הכול
צעירים	60	45	15	120
מבוגרים	50	20	110	180
סך הכול	110	65	125	300

בוחרים תושב באקראי.

מה ההסתברות שהוא מגיע באופניים?

מה ההסתברות שהוא צעיר שמגיע ברכב פרטי?

פגשתם צעיר מהעיר. מה ההסתברות שהוא מגיע ברכב פרטי?

פגשתם תושב שמגיע ברכב פרטי. מה ההסתברות שהוא צעיר?

למה התשובות לסעיפים ג ו-ד שונות, אף על פי ששתיהן על “צעיר” ו"רכב פרטי"?

במפעל שתי מכונות.
מכונה א’ מייצרת 60% מהחלקים, ומכונה ב’ – 40%.
5% מהחלקים של מכונה א’ פגומים, ו-10% מהחלקים של מכונה ב’.
בוחרים חלק באקראי.

כתבו את ההסתברויות על הענפים ואת ההסתברות של כל מסלול.

מה ההסתברות שהחלק פגום?

החלק פגום. מה ההסתברות שהוא יוצר במכונה א’?

בשלוש קופסאות, $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ ו- $\displaystyle C$ , יש כדורים שחורים ולבנים:

בקופסה $\displaystyle A$ שני כדורים שחורים ושלושה לבנים;
בקופסה $\displaystyle B$ שלושה כדורים שחורים ושניים לבנים;
בקופסה $\displaystyle C$ ארבעה כדורים שחורים ואחד לבן.

בוחרים באקראי קופסה, ומוציאים ממנה באקראי כדור אחד.

מה ההסתברות להוציא כדור לבן?

ידוע שהוצא כדור לבן. מה ההסתברות שהוא הוצא מקופסה $\displaystyle B$ ?

מחזירים את הכדור.
מקופסה $\displaystyle C$ מוציאים באקראי שני כדורים, זה אחר זה, בלי החזרה.

מה ההסתברות שאחרי ההוצאה לא נשאר בקופסה $\displaystyle C$ כדור לבן?

בשקית א’ שבע מטפחות צהובות וחמש אדומות.
בשקית ב’ עשר מטפחות: חלקן צהובות, והשאר אדומות.
מוציאים באקראי מטפחת אחת משקית א’ ומטפחת אחת משקית ב’.
ההסתברות ששתי המטפחות צהובות היא $\displaystyle \frac{7}{40}$ .

כמה מטפחות צהובות יש בשקית ב’? סמנו ב- $\displaystyle x$ את מספר המטפחות הצהובות בשקית ב’, וכתבו משוואה.

מחזירים כל מטפחת לשקית שממנה הוציאו אותה, ושוב מוציאים מטפחת משקית א’ ומטפחת משקית ב’.
ידוע שהמטפחות שהוצאו בצבעים שונים.

מה ההסתברות שהמטפחת משקית ב’ צהובה?

מחזירים שוב כל מטפחת לשקית שלה.
בוחרים באקראי שקית, ומוציאים ממנה באקראי שתי מטפחות, בלי החזרה.

מה ההסתברות ששתי המטפחות אדומות?

מטילים קובייה מאוזנת פעם אחת.
$\displaystyle A$ – יתקבל מספר קטן מ-3.
$\displaystyle B$ – יתקבל מספר אי־זוגי.

חשבו את $\displaystyle P(A\cap B)$ .

האם $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ בלתי תלויים? הסבירו.

יוסי משחק שלושה משחקי שש־בש, זה אחר זה. בכל משחק הוא מנצח או מפסיד (אין תיקו).
אם יוסי ניצח במשחק, ההסתברות שינצח גם במשחק שאחריו היא $\displaystyle p$ .
אם הפסיד במשחק, ההסתברות שיפסיד גם במשחק שאחריו היא $\displaystyle p$ .
$\displaystyle p>0.5$ .

ידוע שיוסי ניצח במשחק הראשון. הביעו באמצעות $\displaystyle p$ את ההסתברות שיפסיד במשחק השני וינצח במשחק השלישי.

ידוע שיוסי ניצח במשחק הראשון, וההסתברות שינצח במשחק השלישי היא $\displaystyle \frac{13}{25}$ . כתבו משוואה ומצאו את $\displaystyle p$ .

ההסתברות שיוסי ינצח בשלושת המשחקים היא $\displaystyle 0.144$ . בעזרת $\displaystyle p$ שמצאתם, מצאו את ההסתברות שינצח במשחק הראשון. סמנו אותה ב- $\displaystyle q$ .

2% מהאנשים באוכלוסייה חולים במחלה מסוימת.
בדיקה למחלה חיובית אצל 95% מהחולים.
הבדיקה חיובית גם אצל 10% מהבריאים.
אדם נבחר באקראי ונבדק.

כתבו את ההסתברויות על הענפים ואת ההסתברות של כל מסלול.

מה ההסתברות שהבדיקה תצא חיובית?

הבדיקה יצאה חיובית. מה ההסתברות שהאדם חולה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

רוב מי שהבדיקה שלו חיובית בריאים. הסבירו איך זה ייתכן, כשהבדיקה מזהה 95% מהחולים.

נוסחאות: סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

הצגת נתונים

שכיחות יחסית – $\displaystyle f$ השכיחות של ערך, $\displaystyle n$ מספר כל הנתונים
$\displaystyle \frac{f}{n}$
שכיחות יחסית באחוזים
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot100\%$
הזווית של גזרה בדיאגרמת עיגול
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot360^{\circ}$

מדדי מרכז ומיקום

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
ממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהם
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
ממוצע משוקלל – $\displaystyle w_1, \dots, w_k$ המשקלים של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_kx_k}{w_1+w_2+\dots+w_k}$
ממוצע של נתונים בקבוצות – $\displaystyle m_1, \dots, m_k$ אמצעי הקבוצות, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהן
$\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
מקום העשירון התחתון ברשימה מסודרת; העשירון העליון – $\displaystyle 0.9\cdot n$
$\displaystyle 0.1\cdot n$

מדדי פיזור

הטווח – הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר
$\displaystyle x_{max}-x_{min}$
השונות – הממוצע של ריבועי הסטיות מהממוצע
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$
סטיית התקן – השורש של השונות
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^2}$
שונות מטבלת שכיחויות
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2f_1+\dots+(x_k-\bar{x})^2f_k}{f_1+\dots+f_k}$

כללי ההסתברות

תוצאות שוות הסתברות – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר התוצאות במרחב המדגם
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
ההסתברות של כל מאורע; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ , ו- $\displaystyle {P(U)}={1}$ למרחב המדגם $\displaystyle U$
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
איחוד – $\displaystyle A$ או $\displaystyle B$ (או שניהם); $\displaystyle A\cap B$ – החיתוך, גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
איחוד של מאורעות זרים
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)$ $\displaystyle A\cap B=\emptyset$

הסתברות מותנית ואי־תלות

ההסתברות של $\displaystyle A$ בהינתן $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
מסלול בעץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B)\cdot P(A|B)$
נוסחת ההסתברות השלמה – ממוצע משוקלל של ההסתברויות המותנות
$\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A|B)+P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B})$
נוסחת בייס – מ- $\displaystyle P(B|A)$ אל $\displaystyle P(A|B)$
$\displaystyle P(A|B)\cdot P(B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B|A)\cdot P(A)$
מאורעות בלתי תלויים
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)\cdot P(B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה לא משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)$