עץ הסתברויות ונוסחת ההסתברות השלמה

סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 16 מתוך 20לימוד

עץ הסתברויות ונוסחת ההסתברות השלמה

ענפים שתלויים במסלול

בעץ הסתברויות כל שלב של הניסוי הוא עמודה של ענפים. ההסתברות על ענף בשלב השני היא הסתברות מותנית: ההסתברות לתוצאה הזאת בהינתן המסלול שהוביל אליו. לכן אחרי כל תוצאה של השלב הראשון יכולות להיות הסתברויות אחרות.

בבית ספר $\displaystyle \frac{2}{5}$ מהתלמידים בנים.
20% מהבנים פעילים בתנועת נוער.
30% מהבנות פעילות בתנועת נוער.
בוחרים באקראי תלמיד או תלמידה.

השלב הראשון: בן או בת – $\displaystyle \frac{2}{5}$ ו- $\displaystyle \frac{3}{5}$ .
השלב השני אחרי “בן”: פעיל $\displaystyle \frac{1}{5}$ – זו $\displaystyle P(A|M)$ , ולא פעיל $\displaystyle \frac{4}{5}$ .
השלב השני אחרי “בת”: פעילה $\displaystyle \frac{3}{10}$ – זו $\displaystyle P(A|F)$ , ולא פעילה $\displaystyle \frac{7}{10}$ .
הענפים שיוצאים מאותה נקודה הם כל האפשרויות שם, ולכן ההסתברויות עליהם יחד הן 1.

ההסתברות של מסלול

מסלול בעץ הוא חיתוך: “בן וגם פעיל”. ההסתברות שלו היא מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו – וזו בדיוק הנוסחה של השיעור הקודם, $\displaystyle {P(A\cap B)}={P(B)\cdot P(A|B)}$ :

\displaystyle P(M\cap A)

\displaystyle =

\displaystyle P(M)\cdot P(A|M)

בן פעיל: $\displaystyle {\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{5}}={\frac{2}{25}}={0.08}$ .
בת פעילה: $\displaystyle {\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{10}}={\frac{9}{50}}={0.18}$ .

ההסתברויות של כל המסלולים יחד הן 1: כל תלמיד נמצא במסלול אחד בדיוק.

נוסחת ההסתברות השלמה

מה ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי פעיל בתנועת נוער? המאורע “פעיל” מורכב משני מסלולים זרים – בן פעיל ובת פעילה – ולכן מחברים אותם:

P(A)=0.08+0.18=0.26

זו נוסחת ההסתברות השלמה לשני מאורעות:

\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A|B)+P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B})

הנוסחה היא ממוצע משוקלל של ההסתברויות המותנות: 20% ו-30%, במשקלים $\displaystyle \frac{2}{5}$ ו- $\displaystyle \frac{3}{5}$ . לכן התוצאה, 26%, נמצאת בין 20% ל-30%, וקרובה יותר ל-30% – יש יותר בנות.

ההסתברות השלמה במודל השטח

במודל השטח הריבוע כולו הוא 1. הרצועה של הבנים רחבה $\displaystyle \frac{2}{5}$ , ושל הבנות $\displaystyle \frac{3}{5}$ ; כל רצועה נחתכת לפי ההסתברויות שאחריה:

השטח המסומן הוא כל הפעילים: מלבן נמוך ברצועה הצרה ומלבן גבוה יותר ברצועה הרחבה, $\displaystyle {0.08+0.18}={0.26}$ .

ניסוי בשלושה שלבים

בניסוי רב־שלבי העץ ממשיך עמודה לכל שלב, וההסתברות על ענף יכולה להיות תלויה בכל המסלול שלפניו.

שחקנית כדורסל זורקת שלוש זריקות עונשין, אחת אחרי השנייה.
בזריקה הראשונה היא קולעת בהסתברות $\displaystyle 0.7$ .
אחרי קליעה היא קולעת בזריקה הבאה בהסתברות $\displaystyle 0.8$ .
אחרי החטאה היא קולעת בזריקה הבאה בהסתברות $\displaystyle 0.5$ .

מסומנים המסלולים של “בדיוק שתי קליעות”:

קלע, קלע, החטיא: $\displaystyle {0.7\cdot0.8\cdot0.2}={0.112}$ .
קלע, החטיא, קלע: $\displaystyle {0.7\cdot0.2\cdot0.5}={0.07}$ .
החטיא, קלע, קלע: $\displaystyle {0.3\cdot0.5\cdot0.8}={0.12}$ .

ההסתברות לבדיוק שתי קליעות: $\displaystyle {0.112+0.07+0.12}={0.302}$ .

תרגיל 1

במפעל שתי מכונות.
מכונה א’ מייצרת 60% מהחלקים, ומכונה ב’ – 40%.
5% מהחלקים של מכונה א’ פגומים, ו-10% מהחלקים של מכונה ב’.
בוחרים באקראי חלק מכל החלקים של המפעל.

כתבו את ההסתברויות על הענפים ואת ההסתברות של כל מסלול, וסמנו את המסלולים של “החלק פגום”.

מה ההסתברות שהחלק יוצר במכונה א’ וגם פגום?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מה ההסתברות שהחלק פגום?

הסבירו למה על הענף “פגום” שאחרי “מכונה ב’” כתוב $\displaystyle 0.1$ , ולא $\displaystyle 0.4\cdot0.1$ .

תרגיל 2

בשלוש קופסאות, $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ ו- $\displaystyle C$ , יש כדורים שחורים ולבנים.
בקופסה $\displaystyle A$ יש שני כדורים שחורים ושלושה לבנים.
בקופסה $\displaystyle B$ יש שלושה כדורים שחורים ושניים לבנים.
בקופסה $\displaystyle C$ יש ארבעה כדורים שחורים וכדור לבן אחד.
בוחרים באקראי קופסה, ומוציאים ממנה באקראי כדור אחד.

השלימו את העץ, וחשבו את ההסתברות להוציא כדור לבן.

תרגיל 3

ההסתברות שירד היום גשם היא $\displaystyle 0.3$ .
אם יורד גשם היום, ההסתברות שירד גשם גם מחר היא $\displaystyle 0.6$ .
אם לא יורד גשם היום, ההסתברות שירד גשם מחר היא $\displaystyle 0.2$ .

מה ההסתברות שירד גשם מחר?

תרגיל 4

יוסי משחק שלושה משחקי שש־בש, בזה אחר זה. בכל משחק הוא מנצח או מפסיד (אין תיקו).
במשחק הראשון הוא מנצח בהסתברות $\displaystyle 0.7$ .
אם יוסי ניצח במשחק, ההסתברות שינצח במשחק שאחריו היא $\displaystyle 0.6$ .
אם הפסיד במשחק, ההסתברות שיפסיד גם במשחק שאחריו היא $\displaystyle 0.6$ .

השלימו את העץ.

מה ההסתברות שיוסי ינצח בשלושת המשחקים?

מה ההסתברות שיוסי יפסיד במשחק השני וינצח במשחק השלישי?

נוסחאות: סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

הצגת נתונים

שכיחות יחסית – $\displaystyle f$ השכיחות של ערך, $\displaystyle n$ מספר כל הנתונים
$\displaystyle \frac{f}{n}$
שכיחות יחסית באחוזים
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot100\%$
הזווית של גזרה בדיאגרמת עיגול
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot360^{\circ}$

מדדי מרכז ומיקום

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
ממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהם
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
ממוצע משוקלל – $\displaystyle w_1, \dots, w_k$ המשקלים של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_kx_k}{w_1+w_2+\dots+w_k}$
ממוצע של נתונים בקבוצות – $\displaystyle m_1, \dots, m_k$ אמצעי הקבוצות, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהן
$\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
מקום העשירון התחתון ברשימה מסודרת; העשירון העליון – $\displaystyle 0.9\cdot n$
$\displaystyle 0.1\cdot n$

מדדי פיזור

הטווח – הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר
$\displaystyle x_{max}-x_{min}$
השונות – הממוצע של ריבועי הסטיות מהממוצע
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$
סטיית התקן – השורש של השונות
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^2}$
שונות מטבלת שכיחויות
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2f_1+\dots+(x_k-\bar{x})^2f_k}{f_1+\dots+f_k}$

כללי ההסתברות

תוצאות שוות הסתברות – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר התוצאות במרחב המדגם
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
ההסתברות של כל מאורע; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ , ו- $\displaystyle {P(U)}={1}$ למרחב המדגם $\displaystyle U$
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
איחוד – $\displaystyle A$ או $\displaystyle B$ (או שניהם); $\displaystyle A\cap B$ – החיתוך, גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
איחוד של מאורעות זרים
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)$ $\displaystyle A\cap B=\emptyset$

הסתברות מותנית ואי־תלות

ההסתברות של $\displaystyle A$ בהינתן $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
מסלול בעץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B)\cdot P(A|B)$
נוסחת ההסתברות השלמה – ממוצע משוקלל של ההסתברויות המותנות
$\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A|B)+P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B})$
נוסחת בייס – מ- $\displaystyle P(B|A)$ אל $\displaystyle P(A|B)$
$\displaystyle P(A|B)\cdot P(B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B|A)\cdot P(A)$
מאורעות בלתי תלויים
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)\cdot P(B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה לא משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)$