דלג לתוכן

הטווח, השונות וסטיית התקן

סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 10 מתוך 20לימוד

הטווח, השונות וסטיית התקן

מדדי פיזור

מדד מרכז אומר סביב איזה ערך הנתונים נמצאים; מדד פיזור אומר כמה הם מפוזרים סביבו – קרובים זה לזה או רחוקים.

שתי קבוצות של חמישה תלמידים נבחנו באותו מבחן.
קבוצה א’: 68, 69, 70, 71, 72.
קבוצה ב’: 50, 60, 70, 80, 90.

010203040506070809010012345התלמידציון68697071725060708090קבוצה א׳קבוצה ב׳
  • בשתי הקבוצות הממוצע 70 והחציון 70.
  • בקבוצה א’ כל הציונים קרובים ל-70; בקבוצה ב’ הם רחוקים ממנו עד 20 נקודות.
  • מדדי המרכז לא מראים את ההבדל הזה. מדדי הפיזור – הטווח, השונות וסטיית התקן – מראים אותו.
הטווח

הטווח הוא ההפרש בין הערך הגדול ביותר לערך הקטן ביותר:

xmax−xmin\displaystyle x_{max}-x_{min}
  • קבוצה א’: 72−68=4\displaystyle {72-68}={4} נקודות.
  • קבוצה ב’: 90−50=40\displaystyle {90-50}={40} נקודות.

היתרונות והמגבלות של הטווח:

  • הוא פשוט וקל לחישוב, ומתאים לתחושה שלנו מהו פיזור.
  • הוא נשען רק על שני ערכים, הקיצוניים: ערך חריג אחד משנה אותו מאוד, ושאר הנתונים לא משפיעים עליו.
  • אי אפשר לחשב אותו למשתנה איכותי, או כשקבוצת הקצה פתוחה (“80 ומעלה”).
הסטיות מהממוצע

הסטייה של נתון מהממוצע היא x−xˉ\displaystyle x-\bar{x}: חיובית לנתון שמעל הממוצע, שלילית לנתון שמתחתיו.

בקבוצה ב’ הממוצע 70, והסטיות הן:

−20, −10, 0, 10, 20-20,\ -10,\ 0,\ 10,\ 20

סכום הסטיות מהממוצע הוא תמיד 0: הסטיות החיוביות והשליליות מבטלות זו את זו. לכן הממוצע של הסטיות לא מודד פיזור, ומעלים כל סטייה בריבוע – ריבוע של מספר הוא תמיד 0 או חיובי.

השונות וסטיית התקן

השונות היא הממוצע של ריבועי הסטיות מהממוצע. סטיית התקן היא השורש של השונות. מסמנים אותה באות היוונית σ\displaystyle \sigma (סיגמה), ואת השונות σ2\displaystyle \sigma^2.

σ2=(x1−xˉ)2+(x2−xˉ)2+⋯+(xn−xˉ)2n\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}
σ=σ2\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^2}

בקבוצה ב':

x\displaystyle x5060708090סכום
x−xˉ\displaystyle x-\bar{x}−20\displaystyle -20−10\displaystyle -100\displaystyle 010\displaystyle 1020\displaystyle 200\displaystyle 0
(x−xˉ)2\displaystyle (x-\bar{x})^240010001004001000
σ2=10005=200,σ=200≈14.14\sigma^2=\frac{1000}{5}=200,\qquad\sigma=\sqrt{200}\approx14.14

בקבוצה א’ הסטיות −2,−1,0,1,2\displaystyle -2, -1, 0, 1, 2, וסכום הריבועים 10:

σ2=105=2,σ=2≈1.41\sigma^2=\frac{10}{5}=2,\qquad\sigma=\sqrt{2}\approx1.41

סטיית התקן של קבוצה ב’ גדולה פי 10 בערך: הציונים בה מפוזרים הרבה יותר.

התכונות של סטיית התקן

סטיית התקן נשענת על כל הנתונים, ולכן היא המדד המקובל לפיזור.

  • סטיית התקן נמדדת באותן יחידות כמו הנתונים: נקודות, דקות, שקלים. היחידות של השונות הן הריבוע שלהן – “נקודות בריבוע” – ולכן קשה לפרש אותה.
  • σ≥0\displaystyle \sigma\ge0, ו-σ=0\displaystyle {\sigma}={0} רק כשכל הנתונים שווים זה לזה.
  • נתונים רחוקים מהממוצע תורמים לה יותר מהמשקל שלהם: סטייה של 20 תורמת 400 לסכום, וסטייה של 2 רק 4.
  • במחשבון מדעי, במצב סטטיסטיקה (STAT), סטיית התקן הזאת נקראת σx\displaystyle \sigma_x או σn\displaystyle \sigma_n.
תרגיל 1

הטמפרטורה בצהריים, במעלות, בחמישה ימים:
14, 18, 20, 22, 26.

א

חשבו את הטווח.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    חשבו את הממוצע.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      חשבו את השונות.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

        חשבו את סטיית התקן.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 2

          השכר לשעה של שישה עובדים זמניים בחברה, בשקלים:
          50, 48, 53, 52, 45, 52.
          הממוצע הוא 50 ₪.

          חשבו את סטיית התקן של השכר לשעה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה, וכתבו ≈\displaystyle \approx לפני המספר המעוגל.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 3

            הציונים של שתי כיתות במבחן, חמישה תלמידים בכל כיתה:
            כיתה י'1: 70, 75, 80, 85, 90.
            כיתה י'2: 60, 80, 80, 80, 100.
            בשתי הכיתות הממוצע 80.

            א

            חשבו את סטיית התקן של הציונים בכיתה י'1, מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              חשבו את סטיית התקן של הציונים בכיתה י'2, מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג

                בכיתה י'2 שלושה תלמידים קיבלו בדיוק את הממוצע, ובכל זאת סטיית התקן שלה גדולה יותר. הסבירו למה.

                תרגיל 4

                כתבו נכון או לא נכון. לתשובה “נכון” הסבירו למה; לתשובה “לא נכון” תנו דוגמה נגדית.

                1. אם סכום ריבועי הסטיות מהממוצע הוא 0, סטיית התקן היא 0.
                2. אם סטיית התקן בקבוצה אחת גדולה מזו שבקבוצה שנייה, בקבוצה הראשונה יש יותר אנשים.
                3. כשכל הנתונים שווים זה לזה, סטיית התקן היא 0.
                4. כשסטיית התקן היא 0, כל הנתונים שווים זה לזה.
                5. כשהטווח הוא 0, כל הנתונים שווים זה לזה.
                תרגיל 5

                לשתי קבוצות של נתונים יש אותה סטיית תקן:
                קבוצה א’: 1, 2, 3, 4, 5.
                קבוצה ב’: 11, 12, 13, 14, 15.

                הסבירו בלי לחשב למה סטיות התקן שוות.