סטיית התקן מטבלת שכיחויות

סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 11 מתוך 20לימוד

סטיית התקן מטבלת שכיחויות

בטבלת שכיחויות כל ערך מופיע כמה פעמים, ולכן כל ריבוע של סטייה נכנס לסכום כמה פעמים: כופלים אותו בשכיחות של הערך, ומחלקים בסכום השכיחויות.

\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2f_1+\dots+(x_k-\bar{x})^2f_k}{f_1+\dots+f_k}

מספר הפסילות של 40 קופצים לגובה בתחרות:

מספר הפסילות $\displaystyle x$	0	1	2	3	4	סכום
שכיחות $\displaystyle f$	4	16	9	6	5	40
$\displaystyle x\cdot f$	0	16	18	18	20	72
$\displaystyle x-\bar{x}$	$\displaystyle -1.8$	$\displaystyle -0.8$	$\displaystyle 0.2$	$\displaystyle 1.2$	$\displaystyle 2.2$
$\displaystyle (x-\bar{x})^2\cdot f$	12.96	10.24	0.36	8.64	24.2	56.4

הממוצע: $\displaystyle {\bar{x}}={\frac{72}{40}}={1.8}$ פסילות.
השונות: $\displaystyle {\sigma^2}={\frac{56.4}{40}}={1.41}$ .
סטיית התקן: $\displaystyle {\sigma}={\sqrt{1.41}\approx1.19}$ פסילות.

סטיית התקן בנתונים בקבוצות

בנתונים בקבוצות לא יודעים את הערכים עצמם. כמו בממוצע, מניחים שכל הנתונים בקבוצה נמצאים באמצע הקבוצה, ומחשבים מהאמצעים. התוצאה היא אומדן לסטיית התקן.

הגובה של 30 תלמידים, בס"מ:

גובה	140–150	150–160	160–170	170–180	180–190	סכום
אמצע הקבוצה $\displaystyle m$	145	155	165	175	185
שכיחות $\displaystyle f$	2	8	10	8	2	30
$\displaystyle m-\bar{x}$	$\displaystyle -20$	$\displaystyle -10$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle 20$
$\displaystyle (m-\bar{x})^2\cdot f$	800	800	0	800	800	3200

הממוצע המוערך: $\displaystyle {\bar{x}\approx\frac{145\cdot2+155\cdot8+165\cdot10+175\cdot8+185\cdot2}{30}}={\frac{4950}{30}}={165}$ ס"מ.
השונות: $\displaystyle \sigma^2\approx\frac{3200}{30}\approx106.67$ .
סטיית התקן: $\displaystyle \sigma\approx\sqrt{106.67}\approx10.33$ ס"מ.

כשאחת מקבוצות הקצה פתוחה (“190 ומעלה”), אין לה אמצע, ואי אפשר לחשב לא את הממוצע ולא את סטיית התקן.

השוואת הפיזור בשתי כיתות

שתי דיאגרמות עמודות באותה מערכת צירים מראות את התפלגות הציונים בשתי כיתות של 20 תלמידים:

שתי ההתפלגויות סימטריות סביב 7, ולכן בשתי הכיתות הממוצע 7, וגם החציון והשכיח.
בכיתה י'1 הציונים מרוכזים סביב 7: מ-5 עד 9.
בכיתה י'2 הם מפוזרים מ-4 עד 10.

סטיית התקן בכיתה י'1: הסטיות של 5, 6, 7, 8, 9 מהממוצע הן $\displaystyle -2, -1, 0, 1, 2$ , והשכיחויות $\displaystyle 2, 4, 8, 4, 2$ .

\sigma^2=\frac{4\cdot2+1\cdot4+0\cdot8+1\cdot4+4\cdot2}{20}=\frac{24}{20}=1.2,\qquad\sigma=\sqrt{1.2}\approx1.10

תרגיל 1

שאלו 20 תלמידים כמה אחים ואחיות יש להם:

מספר האחים	0	1	2	3
שכיחות	5	10	3	2

חשבו את הממוצע.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את סטיית התקן, מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 2

חזרו לשתי הכיתות בדיאגרמה.

חשבו את סטיית התקן של הציונים בכיתה י'2, מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

השוו בין שתי הכיתות: מה דומה ומה שונה? התייחסו למדדי המרכז ולמדדי הפיזור.

תרגיל 3

שאלו 20 אנשים כמה דקות הם הולכים ברגל ביום:

דקות	0–20	20–40	40–60
שכיחות	4	10	6

חשבו את הממוצע המוערך.

חשבו את סטיית התקן המוערכת.

למה התוצאות של שני הסעיפים הראשונים הן רק אומדן?

תרגיל 4

בסקר שאלו עובדים כמה שעות נוספות עשו בחודש:

שעות	0–10	10–20	20–30	30 ומעלה
עובדים	12	15	9	4

אילו מדדים אפשר לחשב מהטבלה הזאת, ואילו לא? הסבירו.

נוסחאות: סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

הצגת נתונים

שכיחות יחסית – $\displaystyle f$ השכיחות של ערך, $\displaystyle n$ מספר כל הנתונים
$\displaystyle \frac{f}{n}$
שכיחות יחסית באחוזים
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot100\%$
הזווית של גזרה בדיאגרמת עיגול
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot360^{\circ}$

מדדי מרכז ומיקום

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
ממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהם
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
ממוצע משוקלל – $\displaystyle w_1, \dots, w_k$ המשקלים של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_kx_k}{w_1+w_2+\dots+w_k}$
ממוצע של נתונים בקבוצות – $\displaystyle m_1, \dots, m_k$ אמצעי הקבוצות, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהן
$\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
מקום העשירון התחתון ברשימה מסודרת; העשירון העליון – $\displaystyle 0.9\cdot n$
$\displaystyle 0.1\cdot n$

מדדי פיזור

הטווח – הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר
$\displaystyle x_{max}-x_{min}$
השונות – הממוצע של ריבועי הסטיות מהממוצע
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$
סטיית התקן – השורש של השונות
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^2}$
שונות מטבלת שכיחויות
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2f_1+\dots+(x_k-\bar{x})^2f_k}{f_1+\dots+f_k}$

כללי ההסתברות

תוצאות שוות הסתברות – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר התוצאות במרחב המדגם
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
ההסתברות של כל מאורע; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ , ו- $\displaystyle {P(U)}={1}$ למרחב המדגם $\displaystyle U$
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
איחוד – $\displaystyle A$ או $\displaystyle B$ (או שניהם); $\displaystyle A\cap B$ – החיתוך, גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
איחוד של מאורעות זרים
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)$ $\displaystyle A\cap B=\emptyset$

הסתברות מותנית ואי־תלות

ההסתברות של $\displaystyle A$ בהינתן $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
מסלול בעץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B)\cdot P(A|B)$
נוסחת ההסתברות השלמה – ממוצע משוקלל של ההסתברויות המותנות
$\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A|B)+P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B})$
נוסחת בייס – מ- $\displaystyle P(B|A)$ אל $\displaystyle P(A|B)$
$\displaystyle P(A|B)\cdot P(B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B|A)\cdot P(A)$
מאורעות בלתי תלויים
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)\cdot P(B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה לא משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)$