טבלה דו־ממדית והסתברות מותנית

סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 15 מתוך 20לימוד

טבלה דו־ממדית והסתברות מותנית

טבלה דו־ממדית

טבלה דו־ממדית מסדרת את הנתונים לפי שני משתנים בבת אחת: משתנה אחד בשורות ומשתנה אחד בעמודות. כל תא הוא חיתוך של שני מאורעות.

בשכונה שאלו את כל התושבים אם הם מעוניינים בבניית אולם קולנוע במרכז המסחרי:

	מעוניינים	לא מעוניינים	סך הכול
צעירים	75	85	160
מבוגרים	140	50	190
סך הכול	215	135	350

בוחרים באקראי תושב מהשכונה.
$\displaystyle Y$ – התושב צעיר; $\displaystyle C$ – התושב מעוניין בבניית אולם קולנוע.

$\displaystyle {P(Y)}={\frac{160}{350}}={\frac{16}{35}}$ – מסך הכול של השורה.
$\displaystyle {P(C)}={\frac{215}{350}}={\frac{43}{70}}$ – מסך הכול של העמודה.
$\displaystyle {P(Y\cap C)}={\frac{75}{350}}={\frac{3}{14}}$ – מהתא שבו השורה והעמודה נפגשות.

טבלה של הסתברויות

אפשר לכתוב בטבלה הסתברויות במקום מספרים של אנשים. בטבלה כזאת ארבעת התאים הפנימיים יחד הם 1, וסך הכול של שורה או של עמודה הוא ההסתברות של המאורע שלה.

נתון: $\displaystyle {P(A)}={0.6}$ , $\displaystyle {P(B)}={0.3}$ , $\displaystyle {P(A\cap B)}={0.2}$ .
משלימים את הטבלה בחיסור, שורה אחר שורה ועמודה אחר עמודה:

	$\displaystyle B$	$\displaystyle \overline{B}$	סך הכול
$\displaystyle A$	0.2	$\displaystyle {0.6-0.2}={0.4}$	0.6
$\displaystyle \overline{A}$	$\displaystyle {0.3-0.2}={0.1}$	$\displaystyle {0.4-0.1}={0.3}$	$\displaystyle {1-0.6}={0.4}$
סך הכול	0.3	$\displaystyle {1-0.3}={0.7}$	1

מהטבלה קוראים, למשל, $\displaystyle {P(\overline{A}\cap\overline{B})}={0.3}$ : לא $\displaystyle A$ ולא $\displaystyle B$ .

הסתברות מותנית מהטבלה

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כשכבר ידוע שמאורע אחר קרה. ההסתברות של $\displaystyle C$ בהינתן $\displaystyle Y$ כותבים $\displaystyle P(C|Y)$ (וגם $\displaystyle P(C/Y)$ ).

פגשתם צעיר מהשכונה. מה ההסתברות שהוא מעוניין באולם קולנוע?

ידוע שהתושב צעיר, ולכן בוחרים רק מבין 160 הצעירים – השורה של הצעירים היא עכשיו כל מרחב המדגם.
מתוכם 75 מעוניינים.

P(C|Y)=\frac{75}{160}=\frac{15}{32}

מכל התושבים מעוניינים $\displaystyle \frac{43}{70}\approx0.61$ , ומבין הצעירים רק $\displaystyle \frac{15}{32}\approx0.47$ .

ההגדרה של הסתברות מותנית

בטבלה של מספרים מחלקים את התא בסך הכול של השורה. אם מחלקים את שניהם במספר התושבים, 350, מקבלים את אותו שבר – וזו ההגדרה של הסתברות מותנית:

\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

בשכונה: $\displaystyle {P(Y\cap C)}={\frac{75}{350}}$ ו- $\displaystyle {P(Y)}={\frac{160}{350}}$ .

P(C|Y)=\frac{\frac{75}{350}}{\frac{160}{350}}=\frac{75}{160}=\frac{15}{32}

מהנוסחה, בכפל ב- $\displaystyle P(B)$ : $\displaystyle {P(A\cap B)}={P(B)\cdot P(A|B)}$ .

ההבדל בין

\displaystyle P(A|B)

לבין

\displaystyle P(B|A)

$\displaystyle P(A|B)$ ו- $\displaystyle P(B|A)$ הן שתי שאלות שונות: המונה שלהן אותו חיתוך, אבל המכנה שונה – פעם $\displaystyle P(B)$ ופעם $\displaystyle P(A)$ .

ועד השכונה ערך מפגש לכל 135 התושבים שאינם מעוניינים באולם קולנוע. $\displaystyle \overline{C}$ – התושב לא מעוניין.

פגשתם תושב במפגש. ההסתברות שהוא צעיר: $\displaystyle {P(Y|\overline{C})}={\frac{85}{135}}={\frac{17}{27}}$ – מבין 135 הלא מעוניינים.
פגשתם צעיר. ההסתברות שהוא לא מעוניין: $\displaystyle {P(\overline{C}|Y)}={\frac{85}{160}}={\frac{17}{32}}$ – מבין 160 הצעירים.

המילים “בהינתן ש…” אומרות במה מחלקים: המאורע שידוע שקרה הוא המכנה.

תרגיל 1

בבית ספר שאלו את 400 התלמידים של שכבות י’, י"א וי"ב אם הם מגיעים לבית הספר באוטובוס:

	י'	י"א	י"ב	סך הכול
באוטובוס	60	45	35	140
לא באוטובוס	90	75	95	260
סך הכול	150	120	130	400

בוחרים באקראי תלמיד.

מה ההסתברות שהתלמיד מגיע באוטובוס?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מה ההסתברות שהתלמיד בשכבה י"א וגם מגיע באוטובוס?

ידוע שהתלמיד בשכבה י"ב. מה ההסתברות שהוא מגיע באוטובוס?

ידוע שהתלמיד מגיע באוטובוס. מה ההסתברות שהוא בשכבה י"ב?

תרגיל 2

$\displaystyle {P(A)}={0.7}$ , $\displaystyle {P(B)}={0.4}$ , $\displaystyle {P(A\cap B)}={0.3}$ .
בנו טבלה דו־ממדית של הסתברויות, כמו בדוגמה.

חשבו את $\displaystyle P(\overline{A}\cap\overline{B})$ .

חשבו את $\displaystyle P(A|B)$ .

האם $\displaystyle P(B|A)$ שווה ל- $\displaystyle P(A|B)$ ? חשבו והסבירו.

תרגיל 3

חברת ביטוח בדקה 250 נהגים צעירים: מי נוהג פחות משנתיים, ומי היה מעורב בתאונה בשנה האחרונה.

	היו בתאונה	לא היו בתאונה	סך הכול
נוהגים פחות משנתיים	12	48	60
נוהגים שנתיים ומעלה	19	171	190
סך הכול	31	219	250

מה ההסתברות שנהג היה בתאונה, בהינתן שהוא נוהג פחות משנתיים? כתבו מספר עשרוני.

מה ההסתברות שנהג היה בתאונה, בהינתן שהוא נוהג שנתיים ומעלה?

ידוע שנהג היה בתאונה. מה ההסתברות שהוא נוהג פחות משנתיים?

תרגיל 4

בעיר מסוימת 25% מהתושבים הם בני נוער.
60% מבני הנוער בעיר משחקים במשחקי מחשב כל יום.

בוחרים באקראי תושב. מה ההסתברות שהוא בן נוער שמשחק במשחקי מחשב כל יום? כתבו מספר עשרוני.

תרגיל 5

דנה אומרת: “תמיד $\displaystyle {P(A|B)}={P(B|A)}$ , כי בשתיהן יש את אותם שני המאורעות.”

הראו מהטבלה של השכונה שדנה טועה, והסבירו מה ההבדל.

נוסחאות: סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

הצגת נתונים

שכיחות יחסית – $\displaystyle f$ השכיחות של ערך, $\displaystyle n$ מספר כל הנתונים
$\displaystyle \frac{f}{n}$
שכיחות יחסית באחוזים
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot100\%$
הזווית של גזרה בדיאגרמת עיגול
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot360^{\circ}$

מדדי מרכז ומיקום

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
ממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהם
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
ממוצע משוקלל – $\displaystyle w_1, \dots, w_k$ המשקלים של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_kx_k}{w_1+w_2+\dots+w_k}$
ממוצע של נתונים בקבוצות – $\displaystyle m_1, \dots, m_k$ אמצעי הקבוצות, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהן
$\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
מקום העשירון התחתון ברשימה מסודרת; העשירון העליון – $\displaystyle 0.9\cdot n$
$\displaystyle 0.1\cdot n$

מדדי פיזור

הטווח – הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר
$\displaystyle x_{max}-x_{min}$
השונות – הממוצע של ריבועי הסטיות מהממוצע
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$
סטיית התקן – השורש של השונות
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^2}$
שונות מטבלת שכיחויות
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2f_1+\dots+(x_k-\bar{x})^2f_k}{f_1+\dots+f_k}$

כללי ההסתברות

תוצאות שוות הסתברות – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר התוצאות במרחב המדגם
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
ההסתברות של כל מאורע; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ , ו- $\displaystyle {P(U)}={1}$ למרחב המדגם $\displaystyle U$
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
איחוד – $\displaystyle A$ או $\displaystyle B$ (או שניהם); $\displaystyle A\cap B$ – החיתוך, גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
איחוד של מאורעות זרים
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)$ $\displaystyle A\cap B=\emptyset$

הסתברות מותנית ואי־תלות

ההסתברות של $\displaystyle A$ בהינתן $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
מסלול בעץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B)\cdot P(A|B)$
נוסחת ההסתברות השלמה – ממוצע משוקלל של ההסתברויות המותנות
$\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A|B)+P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B})$
נוסחת בייס – מ- $\displaystyle P(B|A)$ אל $\displaystyle P(A|B)$
$\displaystyle P(A|B)\cdot P(B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B|A)\cdot P(A)$
מאורעות בלתי תלויים
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)\cdot P(B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה לא משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)$