דלג לתוכן

חישוב מקדם המתאם

סטטיסטיקה, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 16 מתוך 20לימוד

חישוב מקדם המתאם

המכפלה של ההפרשים

לכל נקודה מכפילים את ההפרש של x\displaystyle x מהממוצע שלו, x−xˉ\displaystyle x-\bar{x}, בהפרש של y\displaystyle y מהממוצע שלו, y−yˉ\displaystyle y-\bar{y}:

  • נקודה מימין לממוצע ומעליו, או משמאלו ומתחתיו – המכפלה חיובית;
  • נקודה מימין ומתחת, או משמאל ומעל – המכפלה שלילית.

בקשר חיובי רוב הנקודות מהסוג הראשון, וסכום המכפלות חיובי; בקשר שלילי – הסכום שלילי; בלי קשר לינארי המכפלות מבטלות זו את זו.

מנתונים גולמיים

נתונים גולמיים הם הנתונים עצמם, כמו שנמדדו. לממוצע המכפלות מחלקים במכפלה של שתי סטיות התקן, וכך r\displaystyle r יוצא בין −1\displaystyle -1 ל-1 וללא יחידות:

r=1N⋅Sx⋅Sy[(x1−xˉ)(y1−yˉ)+⋯+(xN−xˉ)(yN−yˉ)]\displaystyle r=\frac{1}{N\cdot S_x\cdot S_y}\left[(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+\dots+(x_N-\bar{x})(y_N-\bar{y})\right]

N\displaystyle N הוא מספר הנקודות, ו-Sx\displaystyle S_x, Sy\displaystyle S_y הן סטיות התקן של x\displaystyle x ושל y\displaystyle y.

דוגמה: טבלת עזר

חמישה תלמידים רשמו כמה תרגילים פתרו בבית (x\displaystyle x) וכמה תרגילים פתרו נכון בבוחן (y\displaystyle y).
xˉ=3\displaystyle {\bar{x}}={3}, yˉ=4\displaystyle {\bar{y}}={4}.

x\displaystyle xy\displaystyle yx−xˉ\displaystyle x-\bar{x}y−yˉ\displaystyle y-\bar{y}המכפלה
12−2\displaystyle -2−2\displaystyle -24
24−1\displaystyle -100
35010
44100
55212
  • סכום המכפלות: 6.
  • Sx=4+1+0+1+45=2\displaystyle {S_x}={\sqrt{\frac{4+1+0+1+4}{5}}}={\sqrt{2}}, ו-Sy=4+0+1+0+15=1.2\displaystyle {S_y}={\sqrt{\frac{4+0+1+0+1}{5}}}={\sqrt{1.2}}.
  • r=65⋅2⋅1.2≈0.77\displaystyle {r}={\frac{6}{5\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{1.2}}\approx0.77}: קשר לינארי חיובי חזק.
מנתונים מתוקננים

נתונים מתוקננים הם ציוני התקן של הנתונים: zx=x−xˉSx\displaystyle {z_x}={\frac{x-\bar{x}}{S_x}} ו-zy=y−yˉSy\displaystyle {z_y}={\frac{y-\bar{y}}{S_y}}. בהם החלוקה בסטיות התקן כבר נעשתה, ו-r\displaystyle r הוא ממוצע המכפלות של ציוני התקן:

r=1N[(zx)1(zy)1+⋯+(zx)N(zy)N]\displaystyle r=\frac{1}{N}\left[(z_x)_1(z_y)_1+\dots+(z_x)_N(z_y)_N\right]

מהנוסחה הזאת רואים למה r\displaystyle r אינו משתנה כשמוסיפים מספר לנתונים או משנים יחידות: ציוני התקן לא משתנים. כשיש הרבה נתונים, מחשבים את r\displaystyle r במחשבון או בגיליון אלקטרוני.

תרגיל 1
x\displaystyle x1234567
y\displaystyle y2143756
א

חשבו את Sx\displaystyle S_x.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    חשבו את Sy\displaystyle S_y.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      חשבו את מקדם המתאם, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        בעל חנות שמוכרת טאבלטים בדק את הקשר בין גודל המסך באינצ’ים (x\displaystyle x) לבין מספר הדקות שלקוח צריך כדי להחליט לקנות את הטאבלט (y\displaystyle y).
        ביום מסוים נמכרו 8 דגמים שונים.

        גודל המסך x\displaystyle x999911111111
        הדקות y\displaystyle y210101010101018
        א

        חשבו את xˉ\displaystyle \bar{x} ואת Sx\displaystyle S_x. כתבו את Sx\displaystyle S_x בכרטיס.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          חשבו את yˉ\displaystyle \bar{y} ואת Sy\displaystyle S_y. כתבו את Sy\displaystyle S_y בכרטיס.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג

            חשבו את מקדם המתאם.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 3

              לפניכם ציוני התקן של חמישה תלמידים בשני מבחנים.

              zx\displaystyle z_x−1.5\displaystyle -1.5−0.5\displaystyle -0.500.51.5
              zy\displaystyle z_y−0.5\displaystyle -0.5−1.5\displaystyle -1.50.501.5

              חשבו את מקדם המתאם.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה