מקדם המתאם r: המשמעות והתכונות

מקדם המתאם $\displaystyle r$ הוא מספר שמודד עד כמה הנקודות של דיאגרמת פיזור קרובות לקו ישר – את העוצמה של הקשר הלינארי.

• הסימן של $\displaystyle r$ הוא הכיוון: $\displaystyle r>0$ – קשר חיובי, $\displaystyle r<0$ – קשר שלילי.
• ככל ש-$\displaystyle r$ קרוב יותר ל-1 או ל-$\displaystyle -1$, הנקודות קרובות יותר לקו ישר.

הגבהים של האבות והבנים, מהשיעור הקודם, קרובים לקו ישר עולה:

כאן הקשר חלש: יש נטייה קלה לעלייה, אבל הנקודות מפוזרות רחוק מכל קו ישר:

בשיעור הבא תחשבו את $\displaystyle r$ בעצמכם. בינתיים – איך קוראים אותו.

באופן דומה לקשר שלילי: $\displaystyle -1<r\le-0.7$ – קשר לינארי שלילי חזק, וכן הלאה.

• $\displaystyle {r}={\pm1}$: כל הנקודות על ישר אחד – קשר לינארי מושלם.
• עוצמת הקשר תלויה ב-$\displaystyle |r|$: לקשר עם $\displaystyle {r}={-0.9}$ עוצמה גדולה יותר מלקשר עם $\displaystyle {r}={0.6}$.

$\displaystyle {r}={0}$ פירושו שאין קשר לינארי – לא בהכרח שאין שום קשר. בנקודות על הפרבולה $\displaystyle {y}={x^2}$, $\displaystyle y$ נקבע לגמרי לפי $\displaystyle x$, אבל הקשר אינו לינארי:

בצד שמאל הנקודות יורדות ובצד ימין עולות, ו-$\displaystyle r$ “מאזן” את שני הצדדים ל-0. לכן לפני שמסיקים משהו מ-$\displaystyle r$ מסתכלים בדיאגרמת הפיזור.

מהנוסחה של $\displaystyle r$, שתלמדו בשיעור הבא, יוצאות התכונות האלה:

• תמיד $\displaystyle -1\le r\le1$.
• $\displaystyle r$ הוא מספר ללא יחידות: הוא אותו מספר אם הגובה בסנטימטרים או במטרים.
• הוספה של מספר לכל ערכי $\displaystyle x$ (או $\displaystyle y$) אינה משנה את $\displaystyle r$: הנקודות זזות יחד, והצורה שלהן נשארת.
• כפל במספר חיובי של כל ערכי $\displaystyle x$ (או $\displaystyle y$) – שינוי של יחידות – אינו משנה את $\displaystyle r$; כפל במספר שלילי הופך את הסימן שלו.
• $\displaystyle r$ סימטרי: מקדם המתאם בין $\displaystyle x$ ל-$\displaystyle y$ שווה למקדם המתאם בין $\displaystyle y$ ל-$\displaystyle x$.

לפניכם שש דיאגרמות פיזור, ורשימה של מקדמי המתאם שלהן:
$\displaystyle 0.63$, $\displaystyle 1$, $\displaystyle -0.20$, $\displaystyle 0.27$, $\displaystyle -0.93$, $\displaystyle -0.75$.
התאימו לכל דיאגרמה את מקדם המתאם שלה. הסבירו את הבחירה.

מנהלת בית ספר מצאה שמקדם המתאם בין הציונים של תלמידי כיתה במבחן מסכם במתמטיקה לבין הציונים שלהם במבחן מסכם בפיזיקה הוא 0.8.
המורה למתמטיקה הורידה 4% מהציון של כל תלמיד, והמורה לפיזיקה הוריד 3% מהציון של כל תלמיד.
מה מקדם המתאם בין הציונים אחרי ההורדה? הסבירו.

תארו את הקשר – הכיוון והעוצמה – לכל אחד ממקדמי המתאם האלה: $\displaystyle {r}={0.85}$, $\displaystyle {r}={-0.5}$, $\displaystyle {r}={0.2}$, $\displaystyle {r}={-0.95}$.

דני מדד את הגובה של כדור שנזרק למעלה, כל חצי שנייה, מרגע הזריקה ועד שנפל לקרקע. הוא קיבל מקדם מתאם קרוב מאוד ל-0 בין הזמן לבין הגובה.
האם נכון להסיק שאין קשר בין הזמן לבין הגובה? הסבירו.