מציאת הממוצע וסטיית התקן מאחוזים

סטטיסטיקה, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 10 מתוך 20לימוד

מציאת הממוצע וסטיית התקן מאחוזים

משוואה מכל אחוז

כל אחוז ידוע נותן ציון תקן מהטבלה, וכל ציון תקן נותן משוואה:

x=\mu+z\cdot\sigma

אם $\displaystyle \mu$ או $\displaystyle \sigma$ ידוע – משוואה אחת מספיקה.
אם שניהם לא ידועים – צריך שני אחוזים, ומהם מערכת של שתי משוואות.

דוגמה: הממוצע, כשסטיית התקן ידועה

הגובה של נערים בני 17 מתפלג נורמלית, עם סטיית תקן 7 ס"מ.
80% מהנערים נמוכים מ-182 ס"מ.
מהו הגובה הממוצע?

השטח משמאל ל-182 הוא 0.8, ובטבלה הקרוב ביותר הוא 0.7995: $\displaystyle {z}={0.84}$ .
$\displaystyle {182}={\mu+0.84\cdot7}$ .
$\displaystyle {\mu}={182-5.88}={176.12}$ ס"מ.

דוגמה: הממוצע וסטיית התקן משני אחוזים

הזמן שלוקח לענות על שאלה בחידון מתפלג נורמלית.
15.87% מהמשתתפים עונים בפחות מ-35 שניות.
5.48% מהמשתתפים עונים ביותר מ-48 שניות.
מהם הממוצע וסטיית התקן?

משמאל ל-35 השטח 0.1587: בטבלה $\displaystyle {z}={-1}$ .
משמאל ל-48 השטח $\displaystyle {1-0.0548}={0.9452}$ : בטבלה $\displaystyle {z}={1.6}$ .
נסמן את הממוצע ב- $\displaystyle m$ ואת סטיית התקן ב- $\displaystyle s$ , ונקבל:

\begin{cases}m-s=35\\m+1.6s=48\end{cases}

נחסיר את המשוואה הראשונה מהשנייה: $\displaystyle {2.6s}={13}$ , כלומר $\displaystyle {s}={5}$ .
נציב בראשונה: $\displaystyle {m}={40}$ .

שני אחוזים שווים משני הצדדים

אם אותו אחוז נמצא מעל ערך אחד ומתחת לערך אחר, הממוצע באמצע ביניהם – בגלל הסימטריה. אז מוצאים קודם את $\displaystyle \mu$ , ואחר כך את $\displaystyle \sigma$ ממשוואה אחת.

תרגיל 1

בבית ספר גדול בדקו כמה זמן ביום התלמידים גולשים באינטרנט.
הזמן מתפלג נורמלית, וסטיית התקן 25 דקות.
90% מהתלמידים גולשים פחות מ-180 דקות ביום.

כמה דקות ביום, בממוצע, גולשים התלמידים? סמנו את הממוצע ב- $\displaystyle m$ .

איזה אחוז מהתלמידים גולשים פחות מ-120 דקות ביום?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

מכונה ממלאת בקבוקים, והנפח בבקבוק מתפלג נורמלית, עם ממוצע 500 מ"ל.
ב-4% מהבקבוקים יש פחות מ-493 מ"ל.
מהי סטיית התקן? סמנו אותה ב- $\displaystyle s$ .

תרגיל 3

הציונים בבחינת כניסה לאוניברסיטה מתפלגים נורמלית.
ל-10% מהנבחנים ציון גבוה מ-84.
ל-10% מהנבחנים ציון נמוך מ-68.

סרטטו סקיצה של העקומה וסמנו בה את הנתונים.

מהו ממוצע הציונים?

מהי סטיית התקן? סמנו אותה ב- $\displaystyle s$ .

בשנה מסוימת ניגשו לבחינה 2,000 נבחנים. כמה מהם קיבלו ציון בין סטיית תקן אחת מתחת לממוצע לבין סטיית תקן אחת מעל הממוצע?

תרגיל 4

משך הנסיעה של אוטובוס בקו מסוים מתפלג נורמלית.
21.19% מהנסיעות נמשכות פחות מ-52 דקות.
6.68% מהנסיעות נמשכות יותר מ-75 דקות.
מהם הממוצע וסטיית התקן? סמנו את הממוצע ב- $\displaystyle m$ ואת סטיית התקן ב- $\displaystyle s$ .

נוסחאות: סטטיסטיקה, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

ממוצע וסטיית תקן

הממוצע – $\displaystyle f_1, \dots, f_n$ השכיחויות, $\displaystyle N$ מספר הנתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_nf_n}{N}$
סטיית התקן
$\displaystyle S=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^{2}f_1+(x_2-\bar{x})^{2}f_2+\dots+(x_n-\bar{x})^{2}f_n}{N}}$

ציון תקן

ציון התקן של הנתון $\displaystyle x$
$\displaystyle z=\frac{x-\bar{x}}{S}$
הנתון שציון התקן שלו $\displaystyle z$
$\displaystyle x=\bar{x}+z\cdot S$

התפלגות נורמלית

ציון התקן בהתפלגות נורמלית – $\displaystyle \mu$ הממוצע, $\displaystyle \sigma$ סטיית התקן
$\displaystyle z=\frac{x-\mu}{\sigma}$
בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע
$\displaystyle P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx68\%$
בטווח של שתי סטיות תקן מהממוצע
$\displaystyle P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx95\%$
מעל ציון תקן
$\displaystyle P(Z>z)=1-P(Z<z)$
הסימטריה של העקומה
$\displaystyle P(Z>z)=P(Z<-z)$
בין שני ציוני תקן
$\displaystyle P(z_1<Z<z_2)=P(Z<z_2)-P(Z<z_1)$

טבלת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית המצטברת

בטבלה: השורה – $\displaystyle z$ עד הספרה הראשונה אחרי הנקודה; העמודה – הספרה השנייה. בשורה שלילית העמודה מתרחקת מ-0: בשורה $\displaystyle -1.2$ ובעמודה 3 נמצא $\displaystyle \Phi(-1.23)$ .
$\displaystyle \Phi(z)=P(Z<z)$

`z`	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
-3.0	0.0013	0.0013	0.0013	0.0012	0.0012	0.0011	0.0011	0.0011	0.0010	0.0010
-2.9	0.0019	0.0018	0.0018	0.0017	0.0016	0.0016	0.0015	0.0015	0.0014	0.0014
-2.8	0.0026	0.0025	0.0024	0.0023	0.0023	0.0022	0.0021	0.0021	0.0020	0.0019
-2.7	0.0035	0.0034	0.0033	0.0032	0.0031	0.0030	0.0029	0.0028	0.0027	0.0026
-2.6	0.0047	0.0045	0.0044	0.0043	0.0041	0.0040	0.0039	0.0038	0.0037	0.0036
-2.5	0.0062	0.0060	0.0059	0.0057	0.0055	0.0054	0.0052	0.0051	0.0049	0.0048
-2.4	0.0082	0.0080	0.0078	0.0075	0.0073	0.0071	0.0069	0.0068	0.0066	0.0064
-2.3	0.0107	0.0104	0.0102	0.0099	0.0096	0.0094	0.0091	0.0089	0.0087	0.0084
-2.2	0.0139	0.0136	0.0132	0.0129	0.0125	0.0122	0.0119	0.0116	0.0113	0.0110
-2.1	0.0179	0.0174	0.0170	0.0166	0.0162	0.0158	0.0154	0.0150	0.0146	0.0143
-2.0	0.0228	0.0222	0.0217	0.0212	0.0207	0.0202	0.0197	0.0192	0.0188	0.0183
-1.9	0.0287	0.0281	0.0274	0.0268	0.0262	0.0256	0.0250	0.0244	0.0239	0.0233
-1.8	0.0359	0.0351	0.0344	0.0336	0.0329	0.0322	0.0314	0.0307	0.0301	0.0294
-1.7	0.0446	0.0436	0.0427	0.0418	0.0409	0.0401	0.0392	0.0384	0.0375	0.0367
-1.6	0.0548	0.0537	0.0526	0.0516	0.0505	0.0495	0.0485	0.0475	0.0465	0.0455
-1.5	0.0668	0.0655	0.0643	0.0630	0.0618	0.0606	0.0594	0.0582	0.0571	0.0559
-1.4	0.0808	0.0793	0.0778	0.0764	0.0749	0.0735	0.0721	0.0708	0.0694	0.0681
-1.3	0.0968	0.0951	0.0934	0.0918	0.0901	0.0885	0.0869	0.0853	0.0838	0.0823
-1.2	0.1151	0.1131	0.1112	0.1093	0.1075	0.1056	0.1038	0.1020	0.1003	0.0985
-1.1	0.1357	0.1335	0.1314	0.1292	0.1271	0.1251	0.1230	0.1210	0.1190	0.1170
-1.0	0.1587	0.1562	0.1539	0.1515	0.1492	0.1469	0.1446	0.1423	0.1401	0.1379
-0.9	0.1841	0.1814	0.1788	0.1762	0.1736	0.1711	0.1685	0.1660	0.1635	0.1611
-0.8	0.2119	0.2090	0.2061	0.2033	0.2005	0.1977	0.1949	0.1922	0.1894	0.1867
-0.7	0.2420	0.2389	0.2358	0.2327	0.2296	0.2266	0.2236	0.2206	0.2177	0.2148
-0.6	0.2743	0.2709	0.2676	0.2643	0.2611	0.2578	0.2546	0.2514	0.2483	0.2451
-0.5	0.3085	0.3050	0.3015	0.2981	0.2946	0.2912	0.2877	0.2843	0.2810	0.2776
-0.4	0.3446	0.3409	0.3372	0.3336	0.3300	0.3264	0.3228	0.3192	0.3156	0.3121
-0.3	0.3821	0.3783	0.3745	0.3707	0.3669	0.3632	0.3594	0.3557	0.3520	0.3483
-0.2	0.4207	0.4168	0.4129	0.4090	0.4052	0.4013	0.3974	0.3936	0.3897	0.3859
-0.1	0.4602	0.4562	0.4522	0.4483	0.4443	0.4404	0.4364	0.4325	0.4286	0.4247
-0.0	0.5000	0.4960	0.4920	0.4880	0.4840	0.4801	0.4761	0.4721	0.4681	0.4641
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
3.0	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990

מקדם המתאם

מנתונים גולמיים
$\displaystyle r=\frac{1}{N\cdot S_x\cdot S_y}\left[(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+\dots+(x_N-\bar{x})(y_N-\bar{y})\right]$
מנתונים מתוקננים – $\displaystyle z_x$ , $\displaystyle z_y$ ציוני התקן
$\displaystyle r=\frac{1}{N}\left[(z_x)_1(z_y)_1+\dots+(z_x)_N(z_y)_N\right]$
תמיד בין $\displaystyle -1$ ל- $\displaystyle 1$
$\displaystyle -1\le r\le1$

ישר הרגרסיה

השיפוע של ישר הרגרסיה
$\displaystyle m=r\cdot\frac{S_y}{S_x}$
ישר הרגרסיה לניבוי $\displaystyle y$ לפי $\displaystyle x$ – עובר בנקודת הממוצעים
$\displaystyle y-\bar{y}=m(x-\bar{x})$