דלג לתוכן

ממוצע וסטיית תקן: חזרה

סטטיסטיקה, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 1 מתוך 20לימוד

ממוצע וסטיית תקן: חזרה

הממוצע

הממוצע xˉ\displaystyle \bar{x} (קוראים: איקס גג) הוא סכום הנתונים חלקי מספר הנתונים N\displaystyle N.

חמישה חברים ספרו כמה הודעות שלחו בשעה האחרונה: 3, 5, 6, 8, 13.

xˉ=3+5+6+8+135=355=7\bar{x}=\frac{3+5+6+8+13}{5}=\frac{35}{5}=7
סטיית התקן

סטיית התקן S\displaystyle S מודדת פיזור: בערך כמה הנתונים רחוקים מהממוצע. מחשבים אותה כך:

  • לכל נתון – ההפרש שלו מהממוצע, בריבוע;
  • הממוצע של הריבועים;
  • השורש של הממוצע הזה.

בהודעות של החברים ההפרשים מ-7 הם −4,−2,−1,1,6\displaystyle -4, -2, -1, 1, 6:

S=16+4+1+1+365=11.6≈3.41S=\sqrt{\frac{16+4+1+1+36}{5}}=\sqrt{11.6}\approx3.41
  • סטיית תקן קטנה – הנתונים צפופים סביב הממוצע; גדולה – הם מפוזרים.
  • סטיית התקן היא באותן יחידות של הנתונים: כאן – הודעות.
  • היא 0 רק כשכל הנתונים שווים.
ממוצע וסטיית תקן מטבלת שכיחויות

כשנתון חוזר כמה פעמים, כופלים אותו – או את הריבוע של ההפרש שלו – בשכיחות שלו f\displaystyle f, מספר הפעמים שהוא מופיע.

הציון x\displaystyle x60708090100
מספר התלמידים f\displaystyle f25841

יש בכיתה N=20\displaystyle {N}={20} תלמידים.

xˉ=x1f1+x2f2+⋯+xnfnN\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_nf_n}{N}
S=(x1−xˉ)2f1+(x2−xˉ)2f2+⋯+(xn−xˉ)2fnN\displaystyle S=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^{2}f_1+(x_2-\bar{x})^{2}f_2+\dots+(x_n-\bar{x})^{2}f_n}{N}}
  • xˉ=60⋅2+70⋅5+80⋅8+90⋅4+100⋅120=157020=78.5\displaystyle {\bar{x}}={\frac{60\cdot2+70\cdot5+80\cdot8+90\cdot4+100\cdot1}{20}}={\frac{1570}{20}}={78.5}.
  • S=(−18.5)2⋅2+(−8.5)2⋅5+1.52⋅8+11.52⋅4+21.52⋅120=205520≈10.14\displaystyle {S}={\sqrt{\frac{(-18.5)^{2}\cdot2+(-8.5)^{2}\cdot5+1.5^{2}\cdot8+11.5^{2}\cdot4+21.5^{2}\cdot1}{20}}}={\sqrt{\frac{2055}{20}}\approx10.14}.
שינוי של כל הנתונים

המורה הוסיפה 5 נקודות לכל ציון בכיתה הזאת.

  • כל ציון זז ב-5, ולכן גם הממוצע זז ב-5: 78.5+5=83.5\displaystyle {78.5+5}={83.5}.
  • המרחקים בין הציונים לבין הממוצע לא השתנו, ולכן סטיית התקן נשארת 10.14\displaystyle 10.14.

אילו המורה הייתה כופלת כל ציון ב-1.1, כל מרחק מהממוצע היה גדל פי 1.1:

  • הממוצע: 78.5⋅1.1=86.35\displaystyle {78.5\cdot1.1}={86.35};
  • סטיית התקן: 10.14⋅1.1≈11.15\displaystyle 10.14\cdot1.1\approx11.15.

בקיצור: הוספה של מספר לכל הנתונים מזיזה את הממוצע ואינה משנה את סטיית התקן; כפל של כל הנתונים במספר חיובי כופל את שתיהן באותו מספר.

תרגיל 1

הזמנים, בדקות, שלקח לחמישה תלמידים להגיע לבית הספר: 4, 7, 7, 9, 13.

א

חשבו את הממוצע.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    חשבו את סטיית התקן, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 2

      שאלו 20 תלמידים כמה ספרים קראו בחודש האחרון.

      מספר הספרים x\displaystyle x01234
      מספר התלמידים f\displaystyle f36731
      א

      חשבו את הממוצע.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב

        חשבו את סטיית התקן, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 3

          במפעל השכר החודשי הממוצע 8,000 ₪, וסטיית התקן 1,200 ₪.

          א

          כל עובד קיבל תוספת של 200 ₪. מה הממוצע החדש, ומה סטיית התקן החדשה? הסבירו.

          xˉ\displaystyle \bar{x}

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            S\displaystyle S

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              במקום התוספת, כל עובד קיבל העלאה של 10%. חשבו את הממוצע החדש.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג

                חשבו את סטיית התקן אחרי ההעלאה של 10%.

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה