העקומה הנורמלית ותכונותיה

משקלי הלידה של תינוקות מתפלגים נורמלית. כשמודדים הרבה מאוד תינוקות ומקטינים את המחלקות של ההיסטוגרמה, ראשי העמודות נראים כמו עקומה חלקה בצורת פעמון – העקומה הנורמלית.

את הממוצע של התפלגות נורמלית מסמנים ב-$\displaystyle \mu$ (מְיוּ), ואת סטיית התקן ב-$\displaystyle \sigma$ (סיגמה). למשקלי הלידה $\displaystyle {\mu}={3300}$ גרם ו-$\displaystyle {\sigma}={500}$ גרם:

• העקומה סימטרית סביב הממוצע: הממוצע, החציון והשכיח שווים – 3,300 גרם.
• רוב הנתונים מרוכזים באמצע, והעקומה יורדת מהר ככל שמתרחקים מהממוצע: מעט מאוד תינוקות שוקלים פחות מ-2,000 גרם או יותר מ-4,600 גרם.
• העקומה אינה נוגעת בציר: תמיד יכול להיות נתון רחוק עוד יותר, אבל הוא נדיר מאוד.
• על הציר מסומנים הממוצע, ועוד ופחות סטיית תקן אחת, שתיים ושלוש.

השטח מתחת לעקומה כולה הוא 1: הוא מייצג את כל הנתונים, 100%. לכן השטח מתחת לעקומה בין שני ערכים הוא החלק של הנתונים שבין הערכים האלה.

השטח הצבוע הוא החלק של התינוקות שנולדו במשקל של פחות מ-2,800 גרם:

את אותו שטח אפשר לקרוא בשלוש דרכים:

• החלק היחסי של התינוקות שנולדו במשקל של פחות מ-2,800 גרם – מספר בין 0 ל-1;
• האחוז של התינוקות האלה;
• ההסתברות שתינוק שנבחר באקראי שוקל פחות מ-2,800 גרם.

שתי מכונות במפעל ממלאות בקבוקים של 500 מ"ל, ומכונה שלישית ממלאת יותר מדי:

• הממוצע קובע היכן העקומה: העקומה של מכונה ג’ היא העקומה של מכונה א’, מוזזת ימינה ל-508 מ"ל.
• סטיית התקן קובעת את הרוחב: לעקומה של מכונה ב’ סטיית תקן גדולה יותר – היא רחבה ונמוכה, והבקבוקים שלה מפוזרים יותר.
• השטח מתחת לכל עקומה הוא 1, ולכן עקומה רחבה יותר היא גם נמוכה יותר.

בכל התפלגות נורמלית החלק של הנתונים בכל רצועה של סטיית תקן הוא קבוע, בערך:

• בין $\displaystyle \mu$ ל-$\displaystyle \mu+\sigma$: בערך 34%, וכך גם בין $\displaystyle \mu-\sigma$ ל-$\displaystyle \mu$;
• בין $\displaystyle \mu+\sigma$ ל-$\displaystyle \mu+2\sigma$: בערך 13.5%;
• מעל $\displaystyle \mu+2\sigma$: בערך 2.5%.

$\displaystyle X$ מסמן נתון שנבחר באקראי. הכלל עובד רק בגבולות של מספר שלם של סטיות תקן; בשיעור הבא תלמדו לחשב את החלק בין כל שני ערכים.

אורך החיים של סוללות מתפלג נורמלית.
15.9% מהסוללות פועלות פחות מ-185 שעות.
15.9% מהסוללות פועלות יותר מ-215 שעות.
מהו אורך החיים הממוצע, ומהי סטיית התקן?

• לשני הצדדים אותו אחוז, ולכן הממוצע באמצע, בגלל הסימטריה: $\displaystyle {\mu}={\frac{185+215}{2}}={200}$ שעות.
• מעל $\displaystyle \mu+\sigma$ יש בערך $\displaystyle {13.5\%+2.5\%}={16\%}$, ו-15.9% קרוב מאוד לזה: 215 הוא $\displaystyle \mu+\sigma$.
• $\displaystyle {\sigma}={215-200}={15}$ שעות.

לפניכם שלוש עקומות של התפלגות נורמלית, של שלוש אוכלוסיות שונות.
השוו בין שלוש האוכלוסיות: מה הממוצע של כל אחת, ואיזו מפוזרת יותר?

הגבהים של בנים ושל בנות בני 17 מתפלגים נורמלית.
הגובה הממוצע של הבנים גבוה מהגובה הממוצע של הבנות.
איזו עקומה מתארת את הגבהים של הבנים, ואיזו של הבנות? הסבירו.

המשקל של כיכרות לחם מתפלג נורמלית.
2.5% מהכיכרות שוקלות פחות מ-480 גרם.
2.5% מהכיכרות שוקלות יותר מ-520 גרם.

מהו המשקל הממוצע?

מהי סטיית התקן?

הציונים במבחן מנת משכל מתפלגים נורמלית, עם ממוצע 100 וסטיית תקן 15.
ענו לפי כלל 34/13.5/2.5.

כמה אחוזים מהנבחנים קיבלו ציון בין 85 ל-115?

כמה אחוזים קיבלו ציון גבוה מ-130?

במבחן נבחנו 2,000 איש. כמה מהם קיבלו ציון בין 70 ל-130?