דלג לתוכן

מערך לאחוז: חלק של התפלגות נורמלית

סטטיסטיקה, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 8 מתוך 20לימוד

מערך לאחוז: חלק של התפלגות נורמלית

ארבעה צעדים

החלק של נתונים שמתפלגים נורמלית מתחת לערך x\displaystyle x, מעליו או בין שני ערכים, מוצאים בארבעה צעדים:

  1. ציון התקן: z=x−μσ\displaystyle {z}={\frac{x-\mu}{\sigma}}, מעוגל לשתי ספרות אחרי הנקודה;
  2. מהטבלה: Φ(z)\displaystyle \Phi(z), השטח משמאל ל-z\displaystyle z;
  3. השטח המבוקש: Φ(z)\displaystyle \Phi(z) מתחת לערך, 1−Φ(z)\displaystyle 1-\Phi(z) מעליו, או הפרש של שני ערכים מהטבלה;
  4. אם צריך: אחוז (כפול 100), או מספר הנבדקים (כפול מספר כל הנבדקים).

כדאי לסרטט סקיצה של העקומה ולצבוע את השטח המבוקש: היא מראה אם השטח משמאל, מימין או באמצע.

דוגמה: מעל ערך

הציונים במבחן הכניסה לחוג מחשבים מתפלגים נורמלית.
הממוצע 53, וסטיית התקן 11.5.
במבחן נבחנו 4,500 איש.
כמה נבחנים, בערך, קיבלו ציון גבוה מ-65?

18.53041.55364.57687.5ציון במבחן הכניסה
  • z=65−5311.5≈1.04\displaystyle {z}={\frac{65-53}{11.5}\approx1.04}.
  • Φ(1.04)=0.8508\displaystyle {\Phi(1.04)}={0.8508}.
  • P(X>65)=1−0.8508=0.1492\displaystyle {P(X>65)}={1-0.8508}={0.1492}: בערך 14.92% מהנבחנים.
  • 4500⋅0.1492≈671\displaystyle 4500\cdot0.1492\approx671 נבחנים.
דוגמה: בין שני ערכים

הציונים במבחן מתפלגים נורמלית, עם ממוצע 71 וסטיית תקן 15.
איזה חלק מהתלמידים קיבל ציון בין 62 ל-92?

2641567186101116ציון במבחן
  • z1=62−7115=−0.6\displaystyle {z_1}={\frac{62-71}{15}}={-0.6}, ו-z2=92−7115=1.4\displaystyle {z_2}={\frac{92-71}{15}}={1.4}.
  • P(62<X<92)=Φ(1.4)−Φ(−0.6)=0.9192−0.2743=0.6449\displaystyle {P(62<X<92)}={\Phi(1.4)-\Phi(-0.6)}={0.9192-0.2743}={0.6449}.
  • כלומר, 64.49% מהתלמידים.
תרגיל 1

אורך החיים של סוללות מתפלג נורמלית, עם ממוצע 200 שעות וסטיית תקן 15 שעות.

א

חשבו את ציון התקן של 222.5 שעות.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    איזה אחוז מהסוללות פועלות יותר מ-222.5 שעות?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      מפעל קנה 1,000 סוללות. כמה מהן צפויות לפעול יותר מ-222.5 שעות?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        הגובה של נערות בנות 17 מתפלג נורמלית, עם ממוצע 164 ס"מ וסטיית תקן 6 ס"מ.
        איזה חלק מהנערות:

        א

        נמוכות מ-170 ס"מ?

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          גבוהות מ-158 ס"מ ונמוכות מ-176 ס"מ?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג

            גבוהות מ-155 ס"מ?

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 3

              הציונים של תלמידים במבחן מתפלגים נורמלית, עם ממוצע 71 וסטיית תקן 15.
              387 תלמידים קיבלו ציון בין 62 ל-92.
              כמה תלמידים ניגשו למבחן?

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 4

                הציונים במבחן מסכם מתפלגים נורמלית, עם ממוצע 72 וסטיית תקן 16.
                פנינה קיבלה 64, ואריאל קיבל 80.

                א

                איזה אחוז מהתלמידים קיבלו ציון גבוה מהציון של אריאל?

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ב

                  האם מספר התלמידים שקיבלו ציון גבוה מהציון של אריאל שווה למספר התלמידים שקיבלו ציון נמוך מהציון של פנינה? הסבירו.