שינוי בנתונים וגבולות הניבוי

בשיעור הקודם ישר הרגרסיה בין שני המבחנים היה $\displaystyle {y}={1.12x-3.4}$. המורה הוסיפה 5 נקודות לכל ציון במבחן השני:

• $\displaystyle \bar{y}$ גדל ב-5: $\displaystyle {75+5}={80}$.
• $\displaystyle S_y$ לא משתנה, וגם $\displaystyle r$ לא משתנה – הנקודות זזות כולן 5 למעלה, והצורה שלהן נשארת.
• השיפוע $\displaystyle {m}={r\cdot\frac{S_y}{S_x}}$ נשאר 1.12, והישר זז 5 למעלה: $\displaystyle {y}={1.12x+1.6}$.
• כל ניבוי גדל ב-5.

אילו המורה הייתה כופלת כל ציון במבחן השני ב-0.9 (מורידה 10%):

• $\displaystyle \bar{y}$ ו-$\displaystyle S_y$ היו מוכפלים ב-0.9: $\displaystyle {\bar{y}}={67.5}$, $\displaystyle {S_y}={7.2}$.
• $\displaystyle r$ לא משתנה: כפל במספר חיובי הוא כמו שינוי של יחידות.
• השיפוע מוכפל ב-0.9: $\displaystyle {m}={0.7\cdot\frac{7.2}{5}}={1.008}$, וכל ניבוי מוכפל ב-0.9.

ניבוי בעזרת ישר הרגרסיה מועיל רק כשיש קשר לינארי. חוקרת ספרה כמה זרעים נבטו בטמפרטורות שונות:

• יש קשר ברור: עד 30 מעלות נובטים יותר צמחים, ומעל 30 – פחות.
• הקשר אינו לינארי, $\displaystyle r$ קרוב ל-0, וישר הרגרסיה כמעט אופקי: הוא מנבא בערך אותו מספר לכל טמפרטורה, וטועה כמעט בכל נקודה.
• כשאין קשר לינארי – אין משמעות מעשית לישר הרגרסיה. לכן מסתכלים קודם בדיאגרמת הפיזור.

• ניבוי רחוק מהנתונים מסוכן: הקשר נבדק רק בתחום שבו נמדדו הנתונים. ישר רגרסיה של הגובה לפי הגיל אצל ילדים בני 2 עד 10 מנבא לאדם בן 40 גובה של כמה מטרים.
• נקודה חריגה אחת, רחוקה מכל האחרות, יכולה לשנות מאוד את $\displaystyle r$ ואת הישר.
• גם כשהקשר לינארי, הניבוי כמעט אף פעם אינו מדויק: הקשר מושלם רק כש-$\displaystyle {r}={\pm1}$.
• ישר רגרסיה אינו מוכיח קשר סיבתי, כמו שלמדתם על קשר סטטיסטי.

חוקרים בדקו את הקשר בין המשקל של מנת המזון היומית של עכבר ($\displaystyle x$, בגרמים) לבין המשקל שלו ($\displaystyle y$, בגרמים), אצל 10 עכברים.
$\displaystyle {\bar{x}}={3.4}$, $\displaystyle {S_x}={1.2}$.
$\displaystyle {\bar{y}}={19.4}$, $\displaystyle {S_y}={6.086}$.

אחד מארבעת המספרים האלה הוא מקדם המתאם $\displaystyle r$: $\displaystyle 0$, $\displaystyle -0.123$, $\displaystyle 0.923$, $\displaystyle 1$.
בדיאגרמת הפיזור העכברים שאוכלים יותר שוקלים יותר, אבל הנקודות אינן על ישר אחד. בחרו את מקדם המתאם, ונמקו בלי לחשב.

מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי המשקל של עכבר לפי מנת המזון שלו. עגלו את השיפוע לשתי ספרות אחרי הנקודה, והתחילו מ-$\displaystyle \bar{y}+m(x-\bar{x})$.

אחר כך התברר שהמאזניים שבהם נשקלו העכברים הוסיפו 2 גרם למשקל של כל עכבר. מה משוואת ישר הרגרסיה אחרי התיקון במשקלי העכברים?

לפי הישר המתוקן, מה הניבוי של המשקל של עכבר שמנת המזון שלו 3.5 גרם?

בחנות הטאבלטים, מהשיעור על חישוב מקדם המתאם, הוסיפו מוכר חדש, ובזכותו זמן ההחלטה של כל לקוח התקצר ב-20%.
לכל אחד מהמדדים האלה – האם הוא גדל, קטן או לא משתנה? הסבירו.

1. מקדם המתאם $\displaystyle r$.
2. סטיית התקן של זמן ההחלטה $\displaystyle y$.
3. השיפוע של ישר הרגרסיה לניבוי זמן ההחלטה לפי גודל המסך.

לתלמידי כיתה י"ב: $\displaystyle {\bar{x}}={71}$, $\displaystyle {S_x}={23}$ – הציון על עבודה; $\displaystyle {\bar{y}}={75}$, $\displaystyle {S_y}={14}$ – הציון הסופי.
הוחלט להעלות את הציון הסופי של כל תלמיד ב-5 נקודות.
האם השתנתה סטיית התקן $\displaystyle S_y$? מה קרה לישר הרגרסיה לניבוי הציון הסופי לפי הציון על העבודה? הסבירו.

ישר הרגרסיה של זמן הגלישה ברשתות לפי הגיל חושב מנתונים של בני נוער בגילים 13 עד 18.
האם כדאי להשתמש בו כדי לנבא את זמן הגלישה של אדם בן 45? הסבירו.