ישר הרגרסיה וניבוי

כשיש קשר לינארי, את הניבוי של $\displaystyle y$ לפי $\displaystyle x$ עושים בעזרת ישר אחד שעובר “באמצע” הנקודות – ישר הרגרסיה. הקו המקווקו הוא ישר הרגרסיה של גובה הבן לפי גובה האב:

• הניבוי של $\displaystyle y$ לערך של $\displaystyle x$ הוא הנקודה על הישר מעל $\displaystyle x$.
• הישר הוא קו ישר אחד לכל ערכי $\displaystyle x$, ולא קווים שבורים כמו בגרף הממוצעים.
• יש ישר אחד בלבד שבו סכום הריבועים של המרחקים האנכיים של הנקודות ממנו הוא הקטן ביותר – זה ישר הרגרסיה.

ישר הרגרסיה לניבוי $\displaystyle y$ לפי $\displaystyle x$ עובר בנקודת הממוצעים $\displaystyle (\bar{x},\bar{y})$, והשיפוע שלו $\displaystyle m$ נקבע לפי מקדם המתאם וסטיות התקן:

• הסימן: $\displaystyle S_x$ ו-$\displaystyle S_y$ חיוביות, ולכן לשיפוע אותו סימן של $\displaystyle r$ – הישר עולה בקשר חיובי ויורד בקשר שלילי.
• הגודל: כש-$\displaystyle {r}={1}$ הנקודות על הישר, ו-$\displaystyle x$ שגדל בסטיית תקן אחת מנבא $\displaystyle y$ גדול בסטיית תקן אחת: $\displaystyle {m}={\frac{S_y}{S_x}}$.
• כשהקשר חלש יותר, הניבוי “נמשך” לכיוון הממוצע $\displaystyle \bar{y}$: לבן של אב גבוה מאוד מנבאים גובה פחות חריג. כש-$\displaystyle {r}={0}$, $\displaystyle {m}={0}$ – הניבוי הוא תמיד $\displaystyle \bar{y}$.

תלמידים נבחנו בשני מבחנים במתמטיקה.
במבחן הראשון: $\displaystyle {\bar{x}}={70}$, $\displaystyle {S_x}={5}$.
במבחן השני: $\displaystyle {\bar{y}}={75}$, $\displaystyle {S_y}={8}$.
מקדם המתאם בין שני המבחנים $\displaystyle {r}={0.7}$.
תלמיד קיבל 80 במבחן הראשון. מה הניבוי של הציון שלו במבחן השני?

• $\displaystyle {m}={0.7\cdot\frac{8}{5}}={1.12}$.
• $\displaystyle {y-75}={1.12(x-70)}$, כלומר $\displaystyle {y}={1.12x-3.4}$.
• $\displaystyle {1.12\cdot80-3.4}={86.2}$: הניבוי – 86.2.
• לתלמיד שקיבל 70, הממוצע, הניבוי הוא 75 – הממוצע של המבחן השני.

בחברה גדולה רשמו בכל יום את מספר העובדים שנדבקו בשפעת ($\displaystyle x$) ואת מספר העובדים שעבדו מהבית ($\displaystyle y$).
$\displaystyle {\bar{x}}={10}$, $\displaystyle {S_x}={1.2}$.
$\displaystyle {\bar{y}}={25}$, $\displaystyle {S_y}={2.3}$.
$\displaystyle {r}={0.65}$.

חשבו את השיפוע של ישר הרגרסיה, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.

כתבו את משוואת ישר הרגרסיה בצורה $\displaystyle {y}={mx+b}$. התחילו מ-$\displaystyle \bar{y}+m(x-\bar{x})$, עם השיפוע המעוגל.

לפי ישר הרגרסיה, כמה עובדים יעבדו מהבית ביום שבו 15 עובדים נדבקו?

למה, לדעתכם, $\displaystyle r\neq1$?

בקרב 300 בני נוער נבדק הקשר בין הגיל ($\displaystyle x$, בשנים) לבין מספר הדקות ביום שהם גולשים ברשתות חברתיות ($\displaystyle y$).
הגיל הממוצע 15.4 שנים, וסטיית התקן 1.2 שנים.
זמן הגלישה הממוצע 75 דקות, וסטיית התקן 24 דקות.
$\displaystyle {r}={0.72}$.

מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי זמן הגלישה לפי הגיל, וכתבו אותה בלוח.

לפי ישר הרגרסיה, כמה דקות ביום גולשת נערה בת 16 ו-3 חודשים?

מרצה בדקה אם יש קשר לינארי בין מספר ההיעדרויות של סטודנטים מהשיעורים ($\displaystyle x$) לבין הציון במבחן הסופי ($\displaystyle y$).
הממוצע של ההיעדרויות $\displaystyle {\bar{x}}={10}$, והציון הממוצע $\displaystyle {\bar{y}}={70}$.
מקדם המתאם שלילי.
משוואת ישר הרגרסיה היא אחת מאלה: $\displaystyle {y}={10x-30}$, $\displaystyle {y}={x+60}$, $\displaystyle {y}={-2x+70}$, $\displaystyle {y}={-2x+90}$.

איזו מהן? הסבירו.

סטיות התקן: $\displaystyle {S_y}={10}$, $\displaystyle {S_x}={4}$. חשבו את מקדם המתאם.

לאיזה מספר היעדרויות ישר הרגרסיה מנבא את הציון 80?