דלג לתוכן

תכונות של ציוני התקן

סטטיסטיקה, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 3 מתוך 20לימוד

תכונות של ציוני התקן

ציוני התקן של כל הנתונים

שמונה תלמידים ספרו כמה שעות ישנו בלילה: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.
הממוצע xˉ=5\displaystyle {\bar{x}}={5}, וסטיית התקן S=2\displaystyle {S}={2}.

שעות שינה x\displaystyle x24445579
ציון התקן z\displaystyle z−1.5\displaystyle -1.5−0.5\displaystyle -0.5−0.5\displaystyle -0.5−0.5\displaystyle -0.50\displaystyle 00\displaystyle 01\displaystyle 12\displaystyle 2
  • הממוצע של ציוני התקן: −1.5−0.5−0.5−0.5+0+0+1+28=08=0\displaystyle {\frac{-1.5-0.5-0.5-0.5+0+0+1+2}{8}}={\frac{0}{8}}={0}.
  • סטיית התקן שלהם: 2.25+0.25+0.25+0.25+0+0+1+48=88=1\displaystyle {\sqrt{\frac{2.25+0.25+0.25+0.25+0+0+1+4}{8}}}={\sqrt{\frac{8}{8}}}={1}.
ממוצע 0 וסטיית תקן 1

בכל קבוצה של נתונים:

  • הממוצע של ציוני התקן הוא 0: חיסור של xˉ\displaystyle \bar{x} מכל נתון מזיז את הממוצע ל-0, והחלוקה ב-S\displaystyle S משאירה אותו 0.
  • סטיית התקן של ציוני התקן היא 1: החיסור אינו משנה את סטיית התקן, והחלוקה ב-S\displaystyle S מחלקת אותה ב-S\displaystyle S – נשאר SS=1\displaystyle {\frac{S}{S}}={1}.
  • ציוני תקן חיוביים ושליליים “מאזנים” אלה את אלה: הסכום של כל ציוני התקן בקבוצה הוא 0.
ציון תקן הוא מספר ללא יחידות

ב-z=x−xˉS\displaystyle {z}={\frac{x-\bar{x}}{S}} גם המונה וגם המכנה הם באותן יחידות, והן מצטמצמות: ציון תקן הוא מספר ללא יחידות (ללא ממד).

  • גובה של 175 ס"מ בקבוצה שבה הממוצע 165 ס"מ וסטיית התקן 8 ס"מ: z=175−1658=1.25\displaystyle {z}={\frac{175-165}{8}}={1.25}.
  • אותו גובה במטרים: z=1.75−1.650.08=1.25\displaystyle {z}={\frac{1.75-1.65}{0.08}}={1.25} – אותו ציון תקן.
  • אם מוסיפים מספר לכל הנתונים, או כופלים את כולם במספר חיובי, ציוני התקן לא משתנים: הנתון, הממוצע וסטיית התקן משתנים יחד.
תרגיל 1

שחקן כדורסל קלע בחמישה משחקים 1, 5, 7, 9 ו-13 נקודות.
הממוצע 7 נקודות.

א

חשבו את סטיית התקן.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    חשבו את ציון התקן של המשחק שבו קלע 13 נקודות.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      חשבו את ציוני התקן של כל חמשת המשחקים, ואחר כך את הממוצע שלהם.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        זיו גבוה 1.80 מטר.
        בכיתה שלו הגובה הממוצע 1.70 מטר, וסטיית התקן 0.08 מטר.

        א

        חשבו את ציון התקן של הגובה של זיו.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          חשבו את ציון התקן שוב, הפעם בסנטימטרים.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 3

            ציון התקן של נועה במבחן הוא 0.6.
            המורה הוסיפה 6 נקודות לציון של כל תלמיד.
            מה ציון התקן של נועה אחרי התוספת? הסבירו.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 4

              בקבוצה יש חמישה נתונים.
              ציוני התקן של ארבעה מהם: 1.2, −0.4\displaystyle -0.4, 0.5, −2\displaystyle -2.
              מהו ציון התקן של הנתון החמישי? סמנו אותו ב-z\displaystyle z.