ציון תקן: המיקום היחסי של נתון

דנה קיבלה 80 במבחן בהיסטוריה ו-85 במבחן במתמטיקה. באיזה מבחן הצליחה יותר, ביחס לשכבה?
בהיסטוריה הממוצע בשכבה 70, וסטיית התקן 5.
במתמטיקה הממוצע 75, וסטיית התקן 10.

• בהיסטוריה דנה מעל הממוצע ב-10 נקודות, שהן שתי סטיות תקן: $\displaystyle {\frac{80-70}{5}}={2}$.
• במתמטיקה היא מעל הממוצע באותן 10 נקודות, אבל שם זו סטיית תקן אחת: $\displaystyle {\frac{85-75}{10}}={1}$.

בהיסטוריה הציונים צפופים יותר סביב הממוצע, ולכן 80 בולט שם יותר: ביחס לשכבה דנה הצליחה יותר בהיסטוריה, אף שהציון שלה שם נמוך יותר.

ציון התקן $\displaystyle z$ של נתון $\displaystyle x$ הוא המרחק שלו מהממוצע, במספר של סטיות תקן:

• נתון מעל הממוצע – ציון תקן חיובי; מתחת לממוצע – שלילי; הממוצע עצמו – 0.
• ציון תקן מתאר את המיקום היחסי של נתון בקבוצה שלו, ולכן אפשר להשוות בעזרתו נתונים מקבוצות שונות – ממוצעים שונים, סטיות תקן שונות ואפילו יחידות שונות.
• אפשר לחשב ציון תקן בכל קבוצה של נתונים מספריים, תהיה צורת ההתפלגות שלה אשר תהיה.

אם ידוע ציון התקן, הנתון הוא הממוצע ועוד $\displaystyle z$ סטיות תקן:

במתמטיקה של השכבה של דנה ($\displaystyle {\bar{x}}={75}$, $\displaystyle {S}={10}$):

• לציון התקן $\displaystyle {z}={1.5}$ מתאים הציון $\displaystyle {75+1.5\cdot10}={90}$;
• לציון התקן $\displaystyle {z}={-0.8}$ מתאים הציון $\displaystyle {75-0.8\cdot10}={67}$.

במבחן אחד:
לציון 90 מתאים ציון התקן 2.
לציון 60 מתאים ציון התקן $\displaystyle -1$.
מהם הממוצע וסטיית התקן?

לפי $\displaystyle {x}={\bar{x}+z\cdot S}$ נקבל מערכת של שתי משוואות:

• נחסיר את המשוואה השנייה מהראשונה: $\displaystyle {3S}={30}$, כלומר $\displaystyle {S}={10}$.
• נציב בשנייה: $\displaystyle {\bar{x}-10}={60}$, כלומר $\displaystyle {\bar{x}}={70}$.

הציונים בבחינה במתמטיקה:
במועד א’ הממוצע 76.6, וסטיית התקן 10.
במועד ב’ הממוצע 80, וסטיית התקן 5.
רמי ניגש לבחינה בשני המועדים, ובשניהם קיבל 82.

חשבו את ציון התקן של רמי במועד א’.

חשבו את ציון התקן שלו במועד ב’.

באיזה מועד הצליח רמי יותר ביחס לשאר הנבחנים? הסבירו.

בתחרות ריצה הזמן הממוצע 64 דקות, וסטיית התקן 12 דקות.

ציון התקן של הזמן של עומר הוא 1.5. בכמה דקות הוא סיים את הריצה?

ציון התקן של הזמן של שירה הוא $\displaystyle -0.75$. בכמה דקות היא סיימה?

איילה ופנינה נבחנו במבחן מסכם.
ציון התקן של איילה 1.25, והציון שלה 92.
ציון התקן של פנינה $\displaystyle -0.5$, והציון שלה 64.

האם הציון של פנינה מעל הממוצע או מתחתיו? הסבירו.

חשבו את הממוצע ואת סטיית התקן של הציונים במבחן. סמנו את הממוצע ב-$\displaystyle m$ ואת סטיית התקן ב-$\displaystyle s$.

בקבוצה של נתונים:
ציון התקן של הנתון 70 הוא $\displaystyle z_1$.
ציון התקן של הנתון 74 הוא $\displaystyle z_2$.
ידוע ש-$\displaystyle {z_1}={3z_2}$.
חשבו את הממוצע. סמנו אותו ב-$\displaystyle m$, וכתבו משוואה שאין בה אלא $\displaystyle m$.