משוואת המעגל והשלמה לריבוע

גאומטריה אנליטית, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 6 מתוך 21לימוד

משוואת המעגל והשלמה לריבוע

המעגל כמקום גאומטרי

מעגל הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה נתונה, המרכז, הוא גודל קבוע, הרדיוס.

נקודה $\displaystyle P(x,y)$ נמצאת על המעגל שמרכזו $\displaystyle M(a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$ כש- $\displaystyle {PM}={R}$ . נעלה בריבוע, ונקבל את המשוואה הכללית של המעגל:

\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}

כשהמרכז בראשית הצירים מתקבל המעגל הקנוני של כיתה י’: $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={R^{2}}$ .
כל מעגל הוא הזזה של מעגל קנוני: ב- $\displaystyle a$ ימינה וב- $\displaystyle b$ למעלה, ולכן $\displaystyle x$ מוחלף ב- $\displaystyle x-a$ ו- $\displaystyle y$ ב- $\displaystyle y-b$ .

המשוואה המפותחת

כשפותחים את הסוגריים במשוואה הכללית, מתקבלת משוואה מהצורה

\displaystyle x^{2}+y^{2}+Cx+Dy+E=0

למשל, $\displaystyle {(x-3)^{2}+(y+2)^{2}}={25}$ נפתחת ל- $\displaystyle {x^{2}+y^{2}-6x+4y-12}={0}$ . בצורה הזו לא רואים את המרכז ואת הרדיוס. כדי לחזור לצורה הכללית משלימים לריבוע: $\displaystyle x^{2}-6x$ הוא תחילת הריבוע $\displaystyle {(x-3)^{2}}={x^{2}-6x+9}$ , ולכן $\displaystyle {x^{2}-6x}={(x-3)^{2}-9}$ .

x^{2}-6x+y^{2}+4y-12=(x-3)^{2}-9+(y+2)^{2}-4-12=(x-3)^{2}+(y+2)^{2}-25

המשוואה היא $\displaystyle {(x-3)^{2}+(y+2)^{2}}={25}$ : המרכז $\displaystyle (3,-2)$ והרדיוס $\displaystyle 5$ .

כלל ההשלמה: $\displaystyle {x^{2}+Cx}={\left(x+\frac{C}{2}\right)^{2}-\frac{C^{2}}{4}}$ – חצי מהמקדם של $\displaystyle x$ בתוך הסוגריים, ומחסירים את ריבועו.

\displaystyle x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0

\displaystyle M=(3,-2)

מתי המשוואה היא מעגל

משוואה מהצורה $\displaystyle {Ax^{2}+Ay^{2}+Cx+Dy+E}={0}$ – אותו מקדם ל- $\displaystyle x^{2}$ ול- $\displaystyle y^{2}$ , ואין איבר $\displaystyle xy$ – יכולה להיות מעגל. מחלקים ב- $\displaystyle A$ , משלימים לריבוע ומקבלים $\displaystyle {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}={k}$ :

$\displaystyle k>0$ – מעגל שרדיוסו $\displaystyle \sqrt{k}$ ;
$\displaystyle {k}={0}$ – נקודה אחת, $\displaystyle (a,b)$ : סכום שני ריבועים הוא $\displaystyle 0$ רק כששניהם $\displaystyle 0$ ;
$\displaystyle k<0$ – אין אף נקודה: סכום ריבועים אינו שלילי.

דוגמה: $\displaystyle {x^{2}+y^{2}-4x+6y+13}={0}$ נותנת $\displaystyle {(x-2)^{2}+(y+3)^{2}}={0}$ – רק הנקודה $\displaystyle (2,-3)$ .

תרגיל 1

כתבו את הביטוי בצורה

\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}-k

המעגל: $\displaystyle {x^{2}+y^{2}+8x-2y-8}={0}$ .
השלימו לריבוע את האגף השמאלי.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מהם המרכז והרדיוס של המעגל?

הרדיוס

תרגיל 2

חלקו קודם ב-

\displaystyle 2

, כך שהמקדם של

\displaystyle x^{2}

יהיה

\displaystyle 1

מצאו את המרכז ואת הרדיוס של המעגל $\displaystyle {2x^{2}+2y^{2}-4x+12y+2}={0}$ .
השלימו לריבוע בכרטיס, והמרכז והרדיוס – בתיבה שמתחתיו.

המרכז והרדיוס:

הרדיוס

תרגיל 3

איזו משוואה היא מעגל, איזו נקודה, ואיזו אינה מתארת אף נקודה? $\displaystyle {x^{2}+y^{2}+2x+5}={0}$ , $\displaystyle {x^{2}+y^{2}-10y}={0}$ , $\displaystyle {x^{2}+y^{2}-6x+2y+10}={0}$ .

תרגיל 4

הציבו כל נקודה ב-

\displaystyle {x^{2}+y^{2}+Cx+Dy+E}={0}

. או: הזווית

\displaystyle A

ישרה, ולכן

\displaystyle BC

קוטר.

כתבו את משוואת המעגל שעובר דרך הנקודות $\displaystyle A(0,0)$ , $\displaystyle B(8,0)$ , $\displaystyle C(0,6)$ .

\displaystyle A=(0,0)

\displaystyle B=(8,0)

\displaystyle C=(0,6)

תרגיל 5

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן הרדיוס הוא המרחק של המרכז מהישר.

מרכז המעגל $\displaystyle (2,-1)$ , והמעגל משיק לישר $\displaystyle {3x-4y+5}={0}$ .
כתבו את משוואת המעגל.

\displaystyle 3x-4y+5=0

\displaystyle M=(2,-1)

תרגיל 6

מרכז המעגל על ציר ה- $\displaystyle x$ , והמעגל עובר דרך $\displaystyle (1,3)$ ו- $\displaystyle (5,1)$ .

המרכז הוא

\displaystyle (a,0)

, והוא במרחק שווה משתי הנקודות. כתבו משוואה ב-

\displaystyle a

ופתרו.

כתבו את משוואת המעגל.

\displaystyle (1,3)

\displaystyle (5,1)

נוסחאות: גאומטריה אנליטית, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

נקודות וישרים

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
השיפוע של הישר שעובר דרך שתי הנקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת ישר ששיפועו $\displaystyle m$ , העובר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$
ישרים מאונכים – $\displaystyle m_1$ , $\displaystyle m_2$ השיפועים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
הנקודה $\displaystyle C$ המחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle {AC:CB}={k:l}$ – $\displaystyle A(x_1,y_1)$ , $\displaystyle B(x_2,y_2)$
$\displaystyle C\left(\frac{lx_1+kx_2}{k+l},\frac{ly_1+ky_2}{k+l}\right)$
המרחק של הנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ מהישר $\displaystyle {Ax+By+C}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
המרחק בין הישרים המקבילים $\displaystyle {Ax+By+C_1}={0}$ ו- $\displaystyle {Ax+By+C_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

מעגל

משוואת מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$
המשוואה המפותחת – מעגל, כשאחרי השלמה לריבוע האגף הימני חיובי
$\displaystyle x^{2}+y^{2}+Cx+Dy+E=0$
משוואת המשיק למעגל בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעליו
$\displaystyle (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=R^{2}$

פרבולה

פרבולה קנונית
$\displaystyle y^{2}=2px$
המוקד
$\displaystyle F\left(\frac{p}{2},0\right)$
המדריך
$\displaystyle x=-\frac{p}{2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעל הפרבולה
$\displaystyle y\cdot y_0=p(x+x_0)$

אליפסה

אליפסה קנונית – המוקדים על ציר ה- $\displaystyle x$ כש- $\displaystyle a>b$
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
המרחק של מוקד מהראשית
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}-b^{2}}$
סכום המרחקים של נקודה $\displaystyle P$ על האליפסה מהמוקדים
$\displaystyle PF_1+PF_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a$

היפרבולה

היפרבולה קנונית – המוקדים על ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
המרחק של מוקד מהראשית
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
הפרש המרחקים של נקודה $\displaystyle P$ על ההיפרבולה מהמוקדים
$\displaystyle |PF_1-PF_2|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a$
האסימפטוטות
$\displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x$