מקום גאומטרי שהוא מעגל

המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מ-$\displaystyle A(0,0)$ גדול פי $\displaystyle 2$ ממרחקן מ-$\displaystyle B(3,0)$.

התנאי $\displaystyle {PA}={2PB}$, ובריבוע $\displaystyle {PA^{2}}={4PB^{2}}$:

בהשלמה לריבוע: $\displaystyle {(x-4)^{2}+y^{2}}={4}$ – מעגל שמרכזו $\displaystyle (4,0)$ ורדיוסו $\displaystyle 2$.

• כשהיחס $\displaystyle 1:1$ המקום הוא ישר – האנך האמצעי. בכל יחס אחר $\displaystyle x^{2}$ ו-$\displaystyle y^{2}$ לא מתבטלים, והמקום הוא מעגל.

המקום הגאומטרי של הנקודות $\displaystyle P$ שעבורן $\displaystyle {\angle APB}={90^{\circ}}$, כש-$\displaystyle A(-2,1)$ ו-$\displaystyle B(4,1)$.

$\displaystyle PA\perp PB$, ולכן מכפלת השיפועים $\displaystyle -1$:

• זה המעגל שהקטע $\displaystyle AB$ קוטר שלו – כמו במשפט: זווית היקפית שנשענת על קוטר היא ישרה.
• הנקודות $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle B$ עצמן אינן במקום: בהן אין זווית, ובמשוואה השיפועים לא מוגדרים ($\displaystyle x\neq-2$, $\displaystyle x\neq4$).

הנקודה $\displaystyle Q$ נעה על המעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={16}$, ו-$\displaystyle A(6,0)$. מהו המקום הגאומטרי של האמצע $\displaystyle M$ של $\displaystyle AQ$?

• $\displaystyle M(x,y)$ אמצע $\displaystyle AQ$, ולכן $\displaystyle {x}={\frac{6+x_Q}{2}}$ ו-$\displaystyle {y}={\frac{y_Q}{2}}$.
• נבטא את $\displaystyle Q$ בעזרת $\displaystyle M$: $\displaystyle {x_Q}={2x-6}$, $\displaystyle {y_Q}={2y}$.
• $\displaystyle Q$ על המעגל: $\displaystyle {(2x-6)^{2}+(2y)^{2}}={16}$. נחלק ב-$\displaystyle 4$: $\displaystyle {(x-3)^{2}+y^{2}}={4}$.

המקום הוא מעגל שמרכזו $\displaystyle (3,0)$, אמצע הקטע מ-$\displaystyle A$ למרכז המעגל הנתון, ורדיוסו חצי מהרדיוס הנתון.

$\displaystyle A(-1,0)$ ו-$\displaystyle B(2,0)$.
מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מ-$\displaystyle A$ גדול פי $\displaystyle 2$ ממרחקן מ-$\displaystyle B$, וכתבו את משוואתו על הלוח.

$\displaystyle A(-3,0)$ ו-$\displaystyle B(3,0)$.
מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות $\displaystyle P$ שעבורן $\displaystyle {PA^{2}+PB^{2}}={50}$.

$\displaystyle A(1,1)$ ו-$\displaystyle B(7,-7)$.
מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות $\displaystyle P$ שעבורן $\displaystyle {\angle APB}={90^{\circ}}$, וכתבו את משוואתו על הלוח.

אילו נקודות של המעגל אינן במקום הגאומטרי? למה?

הנקודה $\displaystyle Q$ נעה על המעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={36}$, ו-$\displaystyle A(0,8)$.
מצאו את המקום הגאומטרי של האמצע של $\displaystyle AQ$.