משיק למעגל בנקודה שעליו

בגאומטריה למדנו: המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. לכן את המשיק בנקודה $\displaystyle P$ שעל המעגל מוצאים כך:

1. השיפוע של הרדיוס $\displaystyle MP$;
2. שיפוע המשיק – מכפלת השיפועים $\displaystyle -1$;
3. משוואת הישר דרך $\displaystyle P$ בשיפוע הזה.

דוגמה: המעגל $\displaystyle {(x-2)^{2}+(y+1)^{2}}={25}$ והנקודה $\displaystyle P(5,3)$ שעליו ($\displaystyle {3^{2}+4^{2}}={25}$).

• $\displaystyle {m_{MP}}={\frac{3-(-1)}{5-2}}={\frac{4}{3}}$, ולכן שיפוע המשיק $\displaystyle -\frac{3}{4}$.
• $\displaystyle {y-3}={-\frac{3}{4}(x-5)}$, ובצורה סתומה $\displaystyle {3x+4y}={27}$.

אותם שלושה שלבים, באותיות, נותנים נוסחה. המעגל $\displaystyle {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}={R^{2}}$ והנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעליו:

• משוואת המשיק לפי השיפועים: $\displaystyle {(y_0-b)(y-y_0)}={-(x_0-a)(x-x_0)}$.
• נכתוב $\displaystyle {x-x_0}={(x-a)-(x_0-a)}$ ו-$\displaystyle {y-y_0}={(y-b)-(y_0-b)}$, ונפתח.
• יופיע $\displaystyle (x_0-a)^{2}+(y_0-b)^{2}$, וזה $\displaystyle R^{2}$, כי הנקודה על המעגל.

באותה דוגמה: $\displaystyle {(5-2)(x-2)+(3+1)(y+1)}={25}$, כלומר $\displaystyle {3x-6+4y+4}={25}$, ושוב $\displaystyle {3x+4y}={27}$.

הנוסחה עובדת גם כשהמשיק מקביל לציר ה-$\displaystyle y$, ואז אין לו שיפוע: במעגל הזה, בנקודה $\displaystyle (7,-1)$, היא נותנת $\displaystyle {5(x-2)}={25}$, כלומר $\displaystyle {x}={7}$.

כשמזיזים מעגל, המשיק זז איתו באותה הזזה.

• המשיק למעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={25}$ בנקודה $\displaystyle (3,4)$ הוא $\displaystyle {3x+4y}={25}$.
• נזיז את המעגל ב-$\displaystyle 2$ ימינה: $\displaystyle {(x-2)^{2}+y^{2}}={25}$, ונקודת ההשקה זזה ל-$\displaystyle (5,4)$.
• המשיק זז גם הוא ב-$\displaystyle 2$ ימינה: $\displaystyle x$ מוחלף ב-$\displaystyle x-2$, ומתקבל $\displaystyle {3(x-2)+4y}={25}$, כלומר $\displaystyle {3x+4y}={31}$.

כתבו את משוואת המשיק למעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={25}$ בנקודה $\displaystyle (-3,4)$.

הנקודה $\displaystyle (2,3)$ על המעגל $\displaystyle {(x+1)^{2}+(y-2)^{2}}={10}$.
כתבו את משוואת המשיק למעגל בנקודה הזו.

המשיק למעגל $\displaystyle {(x+a)^{2}+(y-4)^{2}}={25}$ בנקודה $\displaystyle (1,8)$ הוא $\displaystyle {4x+3y}={35}$.
כתבו את משוואת המשיק למעגל $\displaystyle {(x+a)^{2}+(y-6)^{2}}={25}$ בנקודה $\displaystyle (1,10)$.

הנקודה $\displaystyle (6,3)$ על המעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}-6x+2y-15}={0}$.
כתבו את משוואת המשיק בנקודה הזו.

מצאו את המשיקים למעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={20}$ ששיפועם $\displaystyle 2$.

כתבו את שני המשיקים על הלוח.

המשיקים למעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={25}$ בנקודות $\displaystyle (3,4)$ ו-$\displaystyle (3,-4)$ נפגשים בנקודה $\displaystyle T$.

כתבו את משוואות שני המשיקים.