העקומים במבט אחד; מציאת מקום גאומטרי

גאומטריה אנליטית, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 19 מתוך 21לימוד

העקומים במבט אחד; מציאת מקום גאומטרי

המשוואה

\displaystyle {Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E}={0}

כל העקומים של הקורס, כשציריהם מקבילים לצירים, נכתבים כ- $\displaystyle {Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E}={0}$ . המקדמים של $\displaystyle x^{2}$ ו- $\displaystyle y^{2}$ קובעים מה העקום (אם הוא קיים):

$\displaystyle {A}={B}$ – מעגל;
$\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ באותו סימן, שונים – אליפסה;
$\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ בסימנים שונים – היפרבולה;
אחד מהם $\displaystyle 0$ – פרבולה.

השלמה לריבוע מראה את ההזזה. דוגמה: $\displaystyle {x^{2}+4y^{2}-6x+16y+9}={0}$ .

(x-3)^{2}-9+4(y+2)^{2}-16+9=0\quad\Rightarrow\quad\frac{(x-3)^{2}}{16}+\frac{(y+2)^{2}}{4}=1

אליפסה שמרכזה $\displaystyle (3,-2)$ , עם $\displaystyle {a}={4}$ ו- $\displaystyle {b}={2}$ – האליפסה הקנונית $\displaystyle {\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}}={1}$ שהוזזה.

יש גם מקרים מנוונים: נקודה, שני ישרים, או אף נקודה. למשל, $\displaystyle {\frac{(x-2)^{2}}{9}}={y^{2}}$ הוא שני הישרים $\displaystyle {y}={\pm\frac{x-2}{3}}$ .

\displaystyle x^{2}+4y^{2}-6x+16y+9=0

\displaystyle (3,-2)

מקום גאומטרי שהוא פרבולה, אליפסה או היפרבולה

המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים שמשיקים לציר ה- $\displaystyle x$ ועוברים דרך הנקודה $\displaystyle (0,2)$ .

מרכז $\displaystyle P(x,y)$ של מעגל כזה רחוק מציר ה- $\displaystyle x$ מרחק $\displaystyle |y|$ – זה הרדיוס.
המעגל עובר דרך $\displaystyle (0,2)$ , ולכן גם המרחק של $\displaystyle P$ ממנה הוא הרדיוס: $\displaystyle {\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}}={|y|}$ .
בריבוע: $\displaystyle {x^{2}+y^{2}-4y+4}={y^{2}}$ , כלומר $\displaystyle {x^{2}}={4y-4}={4(y-1)}$ .

זו פרבולה שקודקודה $\displaystyle (0,1)$ – כצפוי: $\displaystyle P$ רחוקה מהנקודה $\displaystyle (0,2)$ כמו מהישר $\displaystyle {y}={0}$ , וזו בדיוק ההגדרה של פרבולה עם מוקד ומדריך.

כך גם תנאי על סכום מרחקים משתי נקודות נותן אליפסה, ותנאי על הפרש מרחקים – היפרבולה.

\displaystyle x^{2}=4y-4

\displaystyle (0,2)

תרגיל 1

איזה עקום מתארת כל משוואה – ישר, שני ישרים, מעגל, אליפסה, היפרבולה או פרבולה? $\displaystyle {\frac{(x-2)^{2}}{9}}={y^{2}-1}$ , $\displaystyle {\frac{(x-2)^{2}}{9}}={y^{2}+1}$ , $\displaystyle {\frac{(x-2)^{2}}{9}}={y^{2}}$ , $\displaystyle {\frac{(x-2)^{2}}{9}}={-y^{2}+1}$ , $\displaystyle {\frac{(x-2)^{2}}{9}}={y-1}$ .

תרגיל 2

השלימו לריבוע את

\displaystyle x^{2}-4x

ואת

\displaystyle -9y^{2}-18y

איזה עקום הוא $\displaystyle {x^{2}-9y^{2}-4x-18y-14}={0}$ ? מצאו את מרכזו, והשלימו לריבוע בכרטיס.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

העקום ומרכזו:

תרגיל 3

מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מ- $\displaystyle (0,3)$ שווה למרחקן מהישר $\displaystyle {y}={-3}$ .

\displaystyle y=-3

\displaystyle (0,3)

תרגיל 4

מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות שסכום מרחקיהן מ- $\displaystyle (0,4)$ ומ- $\displaystyle (0,-4)$ הוא $\displaystyle 10$ .

\displaystyle (0,4)

\displaystyle (0,-4)

תרגיל 5

מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מהנקודה $\displaystyle (4,0)$ הוא חצי ממרחקן מהישר $\displaystyle {x}={16}$ .

\displaystyle x=16

\displaystyle (4,0)

איזה עקום התקבל? מהם הקודקודים שלו?

נוסחאות: גאומטריה אנליטית, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

נקודות וישרים

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
השיפוע של הישר שעובר דרך שתי הנקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת ישר ששיפועו $\displaystyle m$ , העובר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$
ישרים מאונכים – $\displaystyle m_1$ , $\displaystyle m_2$ השיפועים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
הנקודה $\displaystyle C$ המחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle {AC:CB}={k:l}$ – $\displaystyle A(x_1,y_1)$ , $\displaystyle B(x_2,y_2)$
$\displaystyle C\left(\frac{lx_1+kx_2}{k+l},\frac{ly_1+ky_2}{k+l}\right)$
המרחק של הנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ מהישר $\displaystyle {Ax+By+C}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
המרחק בין הישרים המקבילים $\displaystyle {Ax+By+C_1}={0}$ ו- $\displaystyle {Ax+By+C_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

מעגל

משוואת מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$
המשוואה המפותחת – מעגל, כשאחרי השלמה לריבוע האגף הימני חיובי
$\displaystyle x^{2}+y^{2}+Cx+Dy+E=0$
משוואת המשיק למעגל בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעליו
$\displaystyle (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=R^{2}$

פרבולה

פרבולה קנונית
$\displaystyle y^{2}=2px$
המוקד
$\displaystyle F\left(\frac{p}{2},0\right)$
המדריך
$\displaystyle x=-\frac{p}{2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעל הפרבולה
$\displaystyle y\cdot y_0=p(x+x_0)$

אליפסה

אליפסה קנונית – המוקדים על ציר ה- $\displaystyle x$ כש- $\displaystyle a>b$
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
המרחק של מוקד מהראשית
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}-b^{2}}$
סכום המרחקים של נקודה $\displaystyle P$ על האליפסה מהמוקדים
$\displaystyle PF_1+PF_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a$

היפרבולה

היפרבולה קנונית – המוקדים על ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
המרחק של מוקד מהראשית
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
הפרש המרחקים של נקודה $\displaystyle P$ על ההיפרבולה מהמוקדים
$\displaystyle |PF_1-PF_2|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a$
האסימפטוטות
$\displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x$