חלוקת קטע ביחס נתון

הנקודה $\displaystyle C$ נמצאת על הקטע $\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle {AC:CB}={k:l}$. אומרים ש-$\displaystyle C$ מחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle k:l$ (חלוקה פנימית – $\displaystyle C$ בין $\displaystyle A$ ל-$\displaystyle B$).

• נחלק את $\displaystyle AB$ ל-$\displaystyle k+l$ חלקים שווים: $\displaystyle AC$ הוא $\displaystyle k$ מהם, ו-$\displaystyle CB$ הוא $\displaystyle l$ מהם.
• לכן $\displaystyle C$ נמצאת $\displaystyle \frac{k}{k+l}$ מהדרך מ-$\displaystyle A$ ל-$\displaystyle B$.
• לפי משפט תאלס, ההיטלים על הצירים מתחלקים באותו יחס: גם ההפרש בשיעורי ה-$\displaystyle x$ וגם ההפרש בשיעורי ה-$\displaystyle y$ מתקדמים ב-$\displaystyle \frac{k}{k+l}$ מהדרך.

עבור $\displaystyle A(x_1,y_1)$ ו-$\displaystyle B(x_2,y_2)$:

וכך גם $\displaystyle y_C$. הנוסחה, כמו בדף הנוסחאות:

שימו לב: $\displaystyle l$, החלק הרחוק מ-$\displaystyle A$, כופל את השיעור של $\displaystyle A$. אמצע הקטע הוא המקרה $\displaystyle {k}={l}={1}$.

$\displaystyle A(1,2)$ ו-$\displaystyle B(7,-7)$.
הנקודה $\displaystyle C$ מחלקת את $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle {AC:CB}={1:2}$.

כאן $\displaystyle {k}={1}$ ו-$\displaystyle {l}={2}$:

$\displaystyle C(3,-1)$ – שליש מהדרך מ-$\displaystyle A$ ל-$\displaystyle B$: $\displaystyle x$ עלה ב-$\displaystyle 2$ מתוך $\displaystyle 6$, ו-$\displaystyle y$ ירד ב-$\displaystyle 3$ מתוך $\displaystyle 9$.

בכיתה י’ ראינו שמפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק כל תיכון ביחס $\displaystyle 2:1$ מהקודקוד. בנוסחת החלוקה זה נותן את שיעורי $\displaystyle G$.

במשולש $\displaystyle A(x_1,y_1)$, $\displaystyle B(x_2,y_2)$, $\displaystyle C(x_3,y_3)$, האמצע של $\displaystyle BC$ הוא $\displaystyle M\left(\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2}\right)$, ו-$\displaystyle G$ מחלקת את $\displaystyle AM$ ביחס $\displaystyle 2:1$:

מפגש התיכונים הוא הממוצע של שלושת הקודקודים:

$\displaystyle A(-2,5)$ ו-$\displaystyle B(10,-1)$.
הנקודה $\displaystyle C$ מחלקת את $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle {AC:CB}={1:3}$.

קודקודי המשולש: $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(7,3)$, $\displaystyle C(4,8)$.
מצאו את מפגש התיכונים $\displaystyle G$.

$\displaystyle A(2,3)$.
הנקודה $\displaystyle C(4,1)$ מחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle {AC:CB}={1:2}$.
מצאו את שיעורי הנקודה $\displaystyle B$.

$\displaystyle A(-3,-1)$ ו-$\displaystyle B(6,5)$.
ציר ה-$\displaystyle y$ חותך את הקטע $\displaystyle AB$ בנקודה $\displaystyle D$.

באיזה יחס $\displaystyle D$ מחלקת את $\displaystyle AB$? היעזרו בשיעורי ה-$\displaystyle x$.

מצאו את $\displaystyle y_D$, וסמנו את $\displaystyle D$ על הלוח.