אליפסה, ישר ומעגל

כמו במעגל: מציבים את הישר במשוואת האליפסה, ומספר הפתרונות של המשוואה הריבועית הוא מספר הנקודות המשותפות – שתיים, אחת (הישר משיק) או אף אחת.

דוגמה: $\displaystyle {\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}}={1}$ ו-$\displaystyle {y}={x-3}$.

• נכפול ב-$\displaystyle 225$: $\displaystyle {9x^{2}+25y^{2}}={225}$, ונציב: $\displaystyle {9x^{2}+25(x-3)^{2}}={225}$.
• $\displaystyle {34x^{2}-150x}={0}$, כלומר $\displaystyle {x(34x-150)}={0}$.
• $\displaystyle {x}={0}$, $\displaystyle {y}={-3}$ – הקודקוד $\displaystyle (0,-3)$; או $\displaystyle {x}={\frac{75}{17}}$, $\displaystyle {y}={\frac{24}{17}}$.

ישר משיק לאליפסה כשלמשוואה הריבועית פתרון אחד – הדיסקרימיננטה שלה $\displaystyle 0$.

דוגמה: לאילו ערכים של $\displaystyle n$ הישר $\displaystyle {y}={x+n}$ משיק לאליפסה $\displaystyle {\frac{x^{2}}{4}+y^{2}}={1}$?

• $\displaystyle {x^{2}+4(x+n)^{2}}={4}$, כלומר $\displaystyle {5x^{2}+8nx+4n^{2}-4}={0}$.
• הדיסקרימיננטה: $\displaystyle {64n^{2}-20(4n^{2}-4)}={80-16n^{2}}$.
• $\displaystyle {80-16n^{2}}={0}$, ולכן $\displaystyle {n}={\sqrt{5}}$ או $\displaystyle {n}={-\sqrt{5}}$: שני משיקים מקבילים, אחד מכל צד.

מעגל שמרכזו על ציר ה-$\displaystyle x$ ואליפסה קנונית: בשתי המשוואות $\displaystyle y$ מופיע רק כ-$\displaystyle y^{2}$. מבודדים את $\displaystyle y^{2}$ באחת ומציבים בשנייה, ומקבלים משוואה ב-$\displaystyle x$ בלבד.

דוגמה: $\displaystyle {2x^{2}+4y^{2}}={16}$ ו-$\displaystyle {(x-2)^{2}+y^{2}}={4}$.

• מהמעגל: $\displaystyle {y^{2}}={4-(x-2)^{2}}={4x-x^{2}}$.
• באליפסה: $\displaystyle {2x^{2}+4(4x-x^{2})}={16}$, כלומר $\displaystyle {x^{2}-8x+8}={0}$, ו-$\displaystyle {x}={4\pm2\sqrt{2}}$.
• $\displaystyle {x}={4+2\sqrt{2}\approx6.8}$ נפסל: באליפסה $\displaystyle x^{2}\le8$. ובאמת, $\displaystyle {y^{2}}={4x-x^{2}}$ יוצא שלילי.
• $\displaystyle {x}={4-2\sqrt{2}\approx1.17}$: $\displaystyle {y^{2}}={4x-x^{2}>0}$, ולכן שתי נקודות, סימטריות לציר ה-$\displaystyle x$.

זהירות: פתרון של המשוואה ב-$\displaystyle x$ נותן נקודה רק אם $\displaystyle y^{2}$ שמתקבל ממנו אינו שלילי.

מצאו את הנקודות המשותפות לאליפסה $\displaystyle {\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}}={1}$ ולישר $\displaystyle {x+2y}={4}$.

האליפסה $\displaystyle {\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}}={1}$ והישר $\displaystyle {y}={-\frac{1}{2}x+2}$.

מה המצב ההדדי של הישר והאליפסה?

סמנו על הלוח את הנקודות המשותפות לאליפסה ולישר.

לאילו ערכים של $\displaystyle n$ הישר $\displaystyle {y}={2x+n}$ משיק לאליפסה $\displaystyle {x^{2}+\frac{y^{2}}{4}}={1}$?

מצאו את הנקודות המשותפות לאליפסה $\displaystyle {\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}}={1}$ ולמעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={16}$.

האליפסה $\displaystyle {2x^{2}+4y^{2}}={16}$ והמעגל $\displaystyle {(x-2)^{2}+y^{2}}={m^{2}}$, ו-$\displaystyle m>0$.

המרחק של $\displaystyle (2,0)$ מהקודקודים $\displaystyle (\pm2\sqrt{2},0)$ של האליפסה הוא $\displaystyle 2\sqrt{2}-2$ ו-$\displaystyle 2\sqrt{2}+2$. לאילו ערכים של $\displaystyle m$ יש לשני העקומים נקודה משותפת אחת בדיוק? ולאילו – שתי נקודות, או אף לא אחת? היעזרו בלוח.

כתבו על הלוח מעגלים משלכם, $\displaystyle {(x-2)^{2}+y^{2}}={m^{2}}$ עם $\displaystyle m$ שונים, וראו איך משתנה מספר הנקודות המשותפות.