האליפסה: שתי הגדרות ומשוואה קנונית

אליפסה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שסכום מרחקיהן משתי נקודות נתונות, המוקדים, הוא גודל קבוע. את הגודל הקבוע מסמנים $\displaystyle 2a$, והוא גדול מהמרחק בין המוקדים.

נבחר את המוקדים על ציר ה-$\displaystyle x$, סימטריים לציר ה-$\displaystyle y$: $\displaystyle F_1(-c,0)$ ו-$\displaystyle F_2(c,0)$. התנאי:

הפתרון שלפניכם מבודד שורש אחד ומעלה בריבוע פעמיים:

• $\displaystyle {\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}}={2a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}}$, ובריבוע: $\displaystyle {(x+c)^{2}}={4a^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+(x-c)^{2}}$.
• $\displaystyle {4cx-4a^{2}}={-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}}$, כלומר $\displaystyle {a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}}={a^{2}-cx}$.
• שוב בריבוע: $\displaystyle {a^{2}x^{2}-2a^{2}cx+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}}={a^{4}-2a^{2}cx+c^{2}x^{2}}$, ולכן $\displaystyle {(a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}}={a^{2}(a^{2}-c^{2})}$.
• נסמן $\displaystyle {b^{2}}={a^{2}-c^{2}}$ (חיובי, כי $\displaystyle a>c$) ונחלק ב-$\displaystyle a^{2}b^{2}$.

מתקבלת המשוואה הקנונית של האליפסה:

מהמשוואה רואים:

• סימטריה – לשני הצירים ולראשית: $\displaystyle x$ ו-$\displaystyle y$ מופיעים רק בריבוע.
• הקודקודים – החיתוך עם הצירים: $\displaystyle (\pm a,0)$ ו-$\displaystyle (0,\pm b)$.
• הציר הארוך – הקטע בין $\displaystyle (-a,0)$ ל-$\displaystyle (a,0)$, אורכו $\displaystyle 2a$; הציר הקצר – בין $\displaystyle (0,-b)$ ל-$\displaystyle (0,b)$, אורכו $\displaystyle 2b$. $\displaystyle a$ הוא חצי הציר הארוך, ו-$\displaystyle b$ חצי הציר הקצר.
• המוקדים – על הציר הארוך, במרחק $\displaystyle c$ מהראשית.
• הקודקוד $\displaystyle (0,b)$ רחוק $\displaystyle a$ מכל מוקד: $\displaystyle {b^{2}+c^{2}}={a^{2}}$.

דוגמה: $\displaystyle {\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}}={1}$: $\displaystyle {a}={5}$, $\displaystyle {b}={3}$, $\displaystyle {c}={\sqrt{25-9}}={4}$. המוקדים $\displaystyle (\pm4,0)$, וסכום המרחקים של כל נקודה מהם $\displaystyle 10$.

כש-$\displaystyle b>a$ הציר הארוך הוא על ציר ה-$\displaystyle y$, והמוקדים $\displaystyle (0,\pm c)$ עם $\displaystyle {c}={\sqrt{b^{2}-a^{2}}}$.

הגדרה נוספת: אליפסה היא מעגל שכווץ (או נמתח) בכיוון אחד.

• נכווץ את המעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={a^{2}}$ אל ציר ה-$\displaystyle x$: כל נקודה $\displaystyle (x,Y)$ שלו עוברת ל-$\displaystyle (x,y)$ עם $\displaystyle {y}={\frac{b}{a}Y}$.
• $\displaystyle {Y}={\frac{a}{b}y}$, ו-$\displaystyle (x,Y)$ על המעגל: $\displaystyle {x^{2}+\frac{a^{2}}{b^{2}}y^{2}}={a^{2}}$.
• נחלק ב-$\displaystyle a^{2}$: $\displaystyle {\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}={1}$ – אותה אליפסה.

בשרטוט, המעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={25}$ כווץ פי $\displaystyle \frac{3}{5}$ אל ציר ה-$\displaystyle x$.

האליפסה: $\displaystyle {\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}}={1}$.

מהם הקודקודים, המוקדים ואורכי הצירים?

המוקדים של אליפסה $\displaystyle (\pm3,0)$, וסכום המרחקים של כל נקודה שלה מהמוקדים $\displaystyle 10$.
כתבו את משוואת האליפסה.

האליפסה: $\displaystyle {4x^{2}+9y^{2}}={36}$.

כתבו את המשוואה בצורה הקנונית. מהם $\displaystyle a$ ו-$\displaystyle b$?

על איזה ציר נמצאים המוקדים של האליפסה $\displaystyle {\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}}={1}$, ומהם שיעוריהם?

המעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={36}$ כווץ אל ציר ה-$\displaystyle x$ פי $\displaystyle \frac{1}{3}$: שיעור ה-$\displaystyle y$ של כל נקודה הוכפל ב-$\displaystyle \frac{1}{3}$.
כתבו את משוואת האליפסה שהתקבלה.

כדור הארץ מקיף את השמש במסלול שהוא אליפסה, והשמש באחד המוקדים.
המרחק הקטן ביותר של כדור הארץ מהשמש הוא $\displaystyle 147.1$ מיליון ק"מ.
המרחק הגדול ביותר הוא $\displaystyle 152.1$ מיליון ק"מ.