היפרבולה, ישר ומעגל

גם כאן פותרים את המערכת. לישר והיפרבולה יכולות להיות שתי נקודות משותפות, אחת או אף לא אחת, ושני מקרים מיוחדים:

• ישר המקביל לאסימפטוטה פוגש את ההיפרבולה בנקודה אחת בלבד וחוצה אותה – הוא אינו משיק. אחרי ההצבה $\displaystyle x^{2}$ מתבטל, ונשארת משוואה ממעלה ראשונה.
• ישר דרך המרכז ששיפועו גדול (בערכו המוחלט) משיפוע האסימפטוטות אינו פוגש את ההיפרבולה כלל.

דוגמה: $\displaystyle {x^{2}-y^{2}}={16}$ ו-$\displaystyle {y}={x-2}$ – מקביל לאסימפטוטה $\displaystyle {y}={x}$.

נקודה אחת: $\displaystyle (5,3)$.

כשאחרי ההצבה מתקבלת משוואה ריבועית, הישר משיק כשהדיסקרימיננטה שלה $\displaystyle 0$.

דוגמה: לאילו ערכים של $\displaystyle n$ הישר $\displaystyle {y}={2x+n}$ משיק להיפרבולה $\displaystyle {\frac{x^{2}}{4}-y^{2}}={1}$?

• $\displaystyle {x^{2}-4(2x+n)^{2}}={4}$, כלומר $\displaystyle {-15x^{2}-16nx-4n^{2}-4}={0}$.
• הדיסקרימיננטה: $\displaystyle {256n^{2}-4\cdot15\cdot(4n^{2}+4)}={16n^{2}-240}$.
• $\displaystyle {16n^{2}}={240}$, ולכן $\displaystyle {n}={\pm\sqrt{15}}$.

מעגל שמרכזו על ציר ה-$\displaystyle x$ והיפרבולה קנונית: כמו באליפסה, מבודדים את $\displaystyle y^{2}$ באחת המשוואות ומציבים בשנייה.

דוגמה: $\displaystyle {x^{2}-y^{2}}={7}$ ו-$\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={25}$. נחבר את המשוואות: $\displaystyle {2x^{2}}={32}$, ולכן $\displaystyle {x}={\pm4}$, ו-$\displaystyle {y^{2}}={9}$. ארבע נקודות: $\displaystyle (\pm4,\pm3)$.

מצאו את הנקודות המשותפות להיפרבולה $\displaystyle {x^{2}-y^{2}}={9}$ ולישר $\displaystyle {y}={2x-6}$, וסמנו אותן על הלוח.

ההיפרבולה $\displaystyle {x^{2}-y^{2}}={9}$ והישר $\displaystyle {y}={2x}$.

הסבירו את התוצאה בעזרת שיפועי האסימפטוטות.

לאילו ערכים של $\displaystyle n$ הישר $\displaystyle {y}={x+n}$ משיק להיפרבולה $\displaystyle {\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}}={1}$?

מצאו את הנקודות המשותפות להיפרבולה $\displaystyle {\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}}={1}$ ולמעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={25}$.

המעגל עובר דרך המוקדים של ההיפרבולה. איך רואים את זה מהמשוואות?

הישר $\displaystyle {y}={\frac{3}{4}x+1}$ וההיפרבולה $\displaystyle {\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}}={1}$. בלי לפתור: כמה נקודות משותפות יכולות להיות להם לכל היותר? למה?