ההיפרבולה: מקום גאומטרי, משוואה ואסימפטוטות

היפרבולה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שהפרש מרחקיהן משתי נקודות נתונות, המוקדים, הוא גודל קבוע. את הגודל הקבוע מסמנים $\displaystyle 2a$, והוא קטן מהמרחק $\displaystyle 2c$ בין המוקדים.

עם המוקדים $\displaystyle F_1(-c,0)$ ו-$\displaystyle F_2(c,0)$ התנאי הוא $\displaystyle {|PF_1-PF_2|}={2a}$. אותם צעדים כמו באליפסה – לבודד שורש ולהעלות בריבוע פעמיים – מביאים ל-$\displaystyle {(c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}}={a^{2}(c^{2}-a^{2})}$. הפעם $\displaystyle c>a$, ונסמן $\displaystyle {b^{2}}={c^{2}-a^{2}}$. מתקבלת המשוואה הקנונית של ההיפרבולה:

• סימטריה לשני הצירים ולראשית.
• הקודקודים $\displaystyle (\pm a,0)$. ציר ה-$\displaystyle y$ אינו נחתך: $\displaystyle {x}={0}$ נותן $\displaystyle {y^{2}}={-b^{2}}$.
• שני ענפים: $\displaystyle {\frac{x^{2}}{a^{2}}}={1+\frac{y^{2}}{b^{2}}\ge1}$, ולכן $\displaystyle x\ge a$ (הענף הימני, קרוב ל-$\displaystyle F_2$) או $\displaystyle x\le-a$ (הענף השמאלי).

נבודד את $\displaystyle y$: $\displaystyle {y}={\pm\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$. כש-$\displaystyle x$ גדול מאוד, $\displaystyle \sqrt{x^{2}-a^{2}}$ כמעט $\displaystyle |x|$, וההיפרבולה מתקרבת לישרים

– האסימפטוטות של ההיפרבולה. הן עוברות דרך הראשית, וההיפרבולה מתקרבת אליהן בלי לפגוש אותן.

דוגמה: $\displaystyle {\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}}={1}$: $\displaystyle {a}={4}$, $\displaystyle {b}={3}$, $\displaystyle {c}={\sqrt{16+9}}={5}$.

• הקודקודים $\displaystyle (\pm4,0)$, המוקדים $\displaystyle (\pm5,0)$, והאסימפטוטות $\displaystyle {y}={\pm\frac{3}{4}x}$.
• בדיקה בקודקוד $\displaystyle (4,0)$: המרחקים מהמוקדים $\displaystyle 9$ ו-$\displaystyle 1$, וההפרש $\displaystyle {8}={2a}$.

כשהמוקדים על ציר ה-$\displaystyle y$, הסימנים מתחלפים: $\displaystyle {-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}={1}$.

• הקודקודים $\displaystyle (0,\pm b)$, הענפים למעלה ולמטה, והמוקדים $\displaystyle (0,\pm c)$ עם $\displaystyle {c}={\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$.
• האסימפטוטות אותן אסימפטוטות: $\displaystyle {y}={\pm\frac{b}{a}x}$.

למשל, $\displaystyle {-\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}}={1}$: הקודקודים $\displaystyle (0,\pm4)$ והמוקדים $\displaystyle (0,\pm5)$.

ההיפרבולה: $\displaystyle {\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}}={1}$.

מהם הקודקודים והמוקדים?

כתבו את שתי האסימפטוטות על הלוח.

המוקדים של היפרבולה $\displaystyle (\pm5,0)$, והפרש המרחקים של כל נקודה שלה מהמוקדים $\displaystyle 6$.
כתבו את משוואת ההיפרבולה.

ההיפרבולה: $\displaystyle {9x^{2}-4y^{2}}={36}$.

כתבו את המשוואה בצורה הקנונית. מהם הקודקודים והאסימפטוטות?

האסימפטוטות של היפרבולה $\displaystyle {y}={\pm2x}$, ואחד הקודקודים שלה $\displaystyle (1,0)$.
כתבו את משוואת ההיפרבולה.

הנקודה $\displaystyle P(8,y_P)$, עם $\displaystyle y_P>0$, על ההיפרבולה $\displaystyle {\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}}={1}$.
$\displaystyle F_1(-5,0)$ ו-$\displaystyle F_2(5,0)$ המוקדים.