ישר ומעגל: מצב הדדי

ישר ומעגל שרדיוסו $\displaystyle R$ נפגשים בשתי נקודות, באחת או באף אחת. את המצב קובעים בשתי דרכים:

• המרחק $\displaystyle d$ של המרכז מהישר (בנוסחה): $\displaystyle d<R$ – הישר חותך; $\displaystyle {d}={R}$ – משיק; $\displaystyle d>R$ – אינו חותך.
• מערכת המשוואות: מציבים את הישר במשוואת המעגל ומקבלים משוואה ריבועית. הדיסקרימיננטה שלה חיובית – שתי נקודות; אפס – נקודה אחת, משיק; שלילית – אין נקודה משותפת.

דוגמה: המעגל $\displaystyle {(x-1)^{2}+(y+2)^{2}}={10}$ והישר $\displaystyle {x-3y+3}={0}$.

• לפי המרחק: $\displaystyle {d}={\frac{|1-3\cdot(-2)+3|}{\sqrt{1+9}}}={\frac{10}{\sqrt{10}}}={\sqrt{10}}={R}$ – הישר משיק למעגל.
• לפי המערכת: $\displaystyle {x}={3y-3}$, ובמשוואת המעגל $\displaystyle {(3y-4)^{2}+(y+2)^{2}}={10}$, כלומר $\displaystyle {10y^{2}-20y+10}={0}$, או $\displaystyle {(y-1)^{2}}={0}$. פתרון אחד: $\displaystyle {y}={1}$, $\displaystyle {x}={0}$ – נקודת ההשקה $\displaystyle (0,1)$.

כשהישר חותך את המעגל, הוא יוצר מיתר. האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו, ולכן לפי משפט פיתגורס:

$\displaystyle \ell$ – אורך המיתר, $\displaystyle d$ – המרחק של המרכז מהישר.

דוגמה: המעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={25}$ והישר $\displaystyle {3x+4y}={15}$: $\displaystyle {d}={\frac{15}{5}}={3}$, ולכן $\displaystyle {\frac{\ell}{2}}={\sqrt{25-9}}={4}$, והמיתר $\displaystyle 8$.

לאילו ערכים של $\displaystyle n$ הישר $\displaystyle {y}={x+n}$ חותך את המעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={8}$?

• הישר בצורה סתומה: $\displaystyle {x-y+n}={0}$, ו-$\displaystyle {d}={\frac{|n|}{\sqrt{2}}}$.
• הישר חותך כש-$\displaystyle {d<R}={\sqrt{8}}$: $\displaystyle {|n|<\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}}={4}$, כלומר $\displaystyle -4<n<4$.
• כש-$\displaystyle {n}={4}$ או $\displaystyle {n}={-4}$ הישר משיק, וכש-$\displaystyle |n|>4$ – אינו חותך.

המעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}-4x+2y-20}={0}$ והישר $\displaystyle {3x+4y+18}={0}$.

מהם המרכז והרדיוס?

מה המצב ההדדי? ואם הישר חותך – מה אורך המיתר?

פתרו כל מערכת, וקבעו את המצב ההדדי של הישר והמעגל.

סמנו על הלוח את נקודות החיתוך של המעגל והישר.

הישר $\displaystyle {y}={2x+n}$ משיק למעגל $\displaystyle {(x-1)^{2}+(y-3)^{2}}={5}$.

כתבו את המשיקים על הלוח.