מקום גאומטרי שהוא ישר

גאומטריה אנליטית, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 4 מתוך 21לימוד

מקום גאומטרי שהוא ישר

מקום גאומטרי

מקום גאומטרי הוא אוסף כל הנקודות במישור שמקיימות תנאי מסוים. בגאומטריה אנליטית מוצאים אותו בשלושה שלבים:

נקודה כלשהי של המקום היא $\displaystyle P(x,y)$ .
כותבים את התנאי כמשוואה ב- $\displaystyle x$ וב- $\displaystyle y$ .
מפשטים את המשוואה עד שמזהים את הצורה: ישר, מעגל, …

כל שלב בפישוט הוא מעבר שקול, ולכן המשוואה שמתקבלת מתארת בדיוק את המקום: כל נקודה שמקיימת את התנאי נמצאת על הצורה, וכל נקודה על הצורה מקיימת את התנאי. בגאומטריה של כיתה י’ הוכחנו את שני הכיוונים האלה בנפרד.

דוגמה: האנך האמצעי

המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מ- $\displaystyle A(1,2)$ שווה למרחקן מ- $\displaystyle B(5,4)$ .

התנאי $\displaystyle {PA}={PB}$ . נעלה בריבוע, כדי להיפטר מהשורשים:

(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=(x-5)^{2}+(y-4)^{2}

x^{2}-2x+1+y^{2}-4y+4=x^{2}-10x+25+y^{2}-8y+16

$\displaystyle x^{2}$ ו- $\displaystyle y^{2}$ מתבטלים, ונשאר $\displaystyle {8x+4y}={36}$ , כלומר $\displaystyle {2x+y}={9}$ .

זה ישר: האנך האמצעי של $\displaystyle AB$ .
בדיקה: האמצע $\displaystyle (3,3)$ עליו, ושיפועו $\displaystyle -2$ מאונך לשיפוע $\displaystyle \frac{1}{2}$ של $\displaystyle AB$ .

\displaystyle 2x+y=9

\displaystyle y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}

\displaystyle A=(1,2)

\displaystyle B=(5,4)

דוגמה: מרחק נתון מישר

המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהישר $\displaystyle {3x+4y-1}={0}$ הוא $\displaystyle 2$ .

\frac{|3x+4y-1|}{5}=2\quad\Rightarrow\quad|3x+4y-1|=10

לערך מוחלט שתי אפשרויות: $\displaystyle {3x+4y-1}={10}$ או $\displaystyle {3x+4y-1}={-10}$ . המקום הוא שני ישרים, מקבילים לישר הנתון, אחד מכל צד שלו: $\displaystyle {3x+4y}={11}$ ו- $\displaystyle {3x+4y}={-9}$ .

\displaystyle 3x+4y-1=0

\displaystyle 3x+4y=11

\displaystyle 3x+4y=-9

דוגמה: חוצי הזוויות בין שני ישרים

בכיתה י’ הוכחנו: חוצה זווית הוא המקום הגאומטרי של הנקודות שבתוך הזווית שמרחקן משתי שוקי הזווית שווה. לכן המקום של הנקודות שמרחקן משני ישרים נחתכים שווה הוא שני חוצי הזוויות שביניהם.

הישרים $\displaystyle {3x-4y}={0}$ ו- $\displaystyle {4x-3y}={0}$ :

\frac{|3x-4y|}{5}=\frac{|4x-3y|}{5}\quad\Rightarrow\quad3x-4y=\pm(4x-3y)

עם $\displaystyle +$ : $\displaystyle {-x-y}={0}$ , כלומר $\displaystyle {y}={-x}$ ;
עם $\displaystyle -$ : $\displaystyle {7x-7y}={0}$ , כלומר $\displaystyle {y}={x}$ .

שני חוצי הזוויות מאונכים זה לזה – כמו תמיד בין ישרים נחתכים.

\displaystyle 3x-4y=0

\displaystyle 4x-3y=0

\displaystyle y=x

\displaystyle y=-x

תרגיל 1

$\displaystyle A(-2,1)$ ו- $\displaystyle B(4,-3)$ .
מצאו את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מ- $\displaystyle A$ שווה למרחקן מ- $\displaystyle B$ , וכתבו את משוואתו בשורה משלכם על הלוח.

\displaystyle A=(-2,1)

\displaystyle B=(4,-3)

תרגיל 2

מצאו את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהישר $\displaystyle {4x-3y+2}={0}$ הוא $\displaystyle 3$ .
כתבו את המשוואות שלו על הלוח, כל ישר בשורה משלו.

\displaystyle 4x-3y+2=0

תרגיל 3

השטח נותן את הגובה לצלע

\displaystyle AB

, והגובה הוא המרחק של הקודקוד השלישי מהישר

\displaystyle AB

$\displaystyle A(2,0)$ ו- $\displaystyle B(1,3)$ שני קודקודים של משולש $\displaystyle ABC$ .
שטח המשולש הוא $\displaystyle 4$ .
מהו המקום הגאומטרי של הקודקוד $\displaystyle C$ ? כתבו את משוואותיו על הלוח.

\displaystyle 3x+y-6=0

\displaystyle A=(2,0)

\displaystyle B=(1,3)

תרגיל 4

מצאו את חוצי הזוויות שבין ציר ה- $\displaystyle x$ לבין הישר $\displaystyle {4x-3y}={0}$ .
כתבו את משוואותיהם על הלוח.

\displaystyle 4x-3y=0

נוסחאות: גאומטריה אנליטית, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

נקודות וישרים

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
השיפוע של הישר שעובר דרך שתי הנקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת ישר ששיפועו $\displaystyle m$ , העובר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$
ישרים מאונכים – $\displaystyle m_1$ , $\displaystyle m_2$ השיפועים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
הנקודה $\displaystyle C$ המחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle {AC:CB}={k:l}$ – $\displaystyle A(x_1,y_1)$ , $\displaystyle B(x_2,y_2)$
$\displaystyle C\left(\frac{lx_1+kx_2}{k+l},\frac{ly_1+ky_2}{k+l}\right)$
המרחק של הנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ מהישר $\displaystyle {Ax+By+C}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
המרחק בין הישרים המקבילים $\displaystyle {Ax+By+C_1}={0}$ ו- $\displaystyle {Ax+By+C_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

מעגל

משוואת מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$
המשוואה המפותחת – מעגל, כשאחרי השלמה לריבוע האגף הימני חיובי
$\displaystyle x^{2}+y^{2}+Cx+Dy+E=0$
משוואת המשיק למעגל בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעליו
$\displaystyle (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=R^{2}$

פרבולה

פרבולה קנונית
$\displaystyle y^{2}=2px$
המוקד
$\displaystyle F\left(\frac{p}{2},0\right)$
המדריך
$\displaystyle x=-\frac{p}{2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעל הפרבולה
$\displaystyle y\cdot y_0=p(x+x_0)$

אליפסה

אליפסה קנונית – המוקדים על ציר ה- $\displaystyle x$ כש- $\displaystyle a>b$
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
המרחק של מוקד מהראשית
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}-b^{2}}$
סכום המרחקים של נקודה $\displaystyle P$ על האליפסה מהמוקדים
$\displaystyle PF_1+PF_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a$

היפרבולה

היפרבולה קנונית – המוקדים על ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
המרחק של מוקד מהראשית
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
הפרש המרחקים של נקודה $\displaystyle P$ על ההיפרבולה מהמוקדים
$\displaystyle |PF_1-PF_2|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a$
האסימפטוטות
$\displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x$