פרבולה, ישר ומעגל; משיק לפרבולה

הנקודות המשותפות לישר ולפרבולה הן הפתרונות של מערכת המשוואות שלהם. מציבים את הישר בפרבולה ומקבלים משוואה ריבועית: שני פתרונות – הישר חותך; פתרון אחד כפול – הישר משיק; אין פתרון – אינו חותך.

דוגמה: $\displaystyle {y^{2}}={4x}$ ו-$\displaystyle {y}={2x-4}$.

$\displaystyle {x}={1}$ או $\displaystyle {x}={4}$, ומהישר: $\displaystyle (1,-2)$ ו-$\displaystyle (4,4)$.

זהירות: ישר מקביל לציר הסימטריה, כמו $\displaystyle {y}={3}$, פוגש את הפרבולה בנקודה אחת בדיוק – $\displaystyle \left(\frac{9}{4},3\right)$ – אבל חוצה אותה ואינו משיק לה. כאן המשוואה אחרי ההצבה היא ממעלה ראשונה, לא משוואה ריבועית עם פתרון כפול.

המשיק לפרבולה $\displaystyle {y^{2}}={2px}$ בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעליה:

מאיפה הנוסחה: החלק העליון של הפרבולה הוא הפונקציה $\displaystyle {y}={\sqrt{2px}}$, והנגזרת שלה $\displaystyle {y'}={\frac{2p}{2\sqrt{2px}}}={\frac{p}{y_0}}$ בנקודה. המשיק: $\displaystyle {y-y_0}={\frac{p}{y_0}(x-x_0)}$. נכפול ב-$\displaystyle y_0$: $\displaystyle {y\cdot y_0-y_0^{2}}={px-px_0}$, ובמקום $\displaystyle y_0^{2}$ נציב $\displaystyle 2px_0$ – הנקודה על הפרבולה. מתקבל $\displaystyle {y\cdot y_0}={p(x+x_0)}$. בחלק התחתון, $\displaystyle {y}={-\sqrt{2px}}$, החישוב זהה.

דוגמה: $\displaystyle {y^{2}}={8x}$, כלומר $\displaystyle {p}={4}$, בנקודה $\displaystyle (2,4)$: $\displaystyle {4y}={4(x+2)}$, כלומר $\displaystyle {y}={x+2}$.

גם מעגל ופרבולה נפגשים בפתרונות של המערכת. נוח להציב את $\displaystyle y^{2}$ מהפרבולה במשוואת המעגל.

דוגמה: $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={12}$ ו-$\displaystyle {y^{2}}={4x}$.

• $\displaystyle {x^{2}+4x}={12}$, ולכן $\displaystyle {x}={2}$ או $\displaystyle {x}={-6}$.
• $\displaystyle {x}={-6}$ נפסל: $\displaystyle {y^{2}}={4\cdot(-6)<0}$. על הפרבולה הזו $\displaystyle x\ge0$.
• $\displaystyle {x}={2}$: $\displaystyle {y^{2}}={8}$, ולכן $\displaystyle {y}={2\sqrt{2}}$ או $\displaystyle {y}={-2\sqrt{2}}$.

שתי נקודות משותפות: $\displaystyle (2,2\sqrt{2})$ ו-$\displaystyle (2,-2\sqrt{2})$ – סימטריות לציר ה-$\displaystyle x$, כמו שתי הצורות.

מצאו את הנקודות המשותפות לפרבולה $\displaystyle {y^{2}}={6x}$ ולישר $\displaystyle {2x-y}={6}$.

סמנו את הנקודות על הלוח.

כתבו את המשיקים לפרבולה $\displaystyle {y^{2}}={12x}$ בנקודות $\displaystyle (3,6)$ ו-$\displaystyle (3,-6)$.

היכן נפגשים שני המשיקים? מה מיוחד בנקודה הזו?

לאיזה ערך של $\displaystyle n$ הישר $\displaystyle {y}={x+n}$ משיק לפרבולה $\displaystyle {y^{2}}={8x}$?

מצאו את הנקודות המשותפות למעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={5}$ ולפרבולה $\displaystyle {y^{2}}={4x}$.

הישר $\displaystyle {y}={-4}$ פוגש את הפרבולה $\displaystyle {y^{2}}={8x}$ בנקודה אחת. האם הוא משיק לה? נמקו.