הפרבולה: מקום גאומטרי ומשוואה קנונית

פרבולה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה נתונה, המוקד $\displaystyle F$, שווה למרחקן מישר נתון, המדריך.

כדי לקבל משוואה פשוטה, נבחר את מערכת הצירים כך:

• ציר ה-$\displaystyle x$ עובר דרך המוקד ומאונך למדריך;
• ראשית הצירים באמצע בין המוקד למדריך.

אם המרחק בין המוקד למדריך הוא $\displaystyle p$, המוקד הוא $\displaystyle F\left(\frac{p}{2},0\right)$ והמדריך $\displaystyle {x}={-\frac{p}{2}}$. המרחק של $\displaystyle P(x,y)$ מהמדריך הוא $\displaystyle \left|x+\frac{p}{2}\right|$, ולכן התנאי:

נעלה בריבוע: $\displaystyle {x^{2}-px+\frac{p^{2}}{4}+y^{2}}={x^{2}+px+\frac{p^{2}}{4}}$, וכמעט הכול מתבטל. נשאר המשוואה הקנונית של הפרבולה:

מהמשוואה $\displaystyle {y^{2}}={2px}$ רואים:

• סימטריה – אם $\displaystyle (x,y)$ על הפרבולה, גם $\displaystyle (x,-y)$ עליה: $\displaystyle y$ מופיע רק בריבוע. ציר ה-$\displaystyle x$ הוא ציר הסימטריה.
• הקודקוד – ראשית הצירים, הנקודה של הפרבולה הקרובה ביותר למדריך.
• הכיוון – כש-$\displaystyle p>0$, $\displaystyle {x}={\frac{y^{2}}{2p}\ge0}$: הפרבולה נפתחת ימינה, אל המוקד. כש-$\displaystyle p<0$ היא נפתחת שמאלה.

דוגמה: $\displaystyle {y^{2}}={12x}$. כאן $\displaystyle {2p}={12}$, ולכן $\displaystyle {p}={6}$: המוקד $\displaystyle F(3,0)$ והמדריך $\displaystyle {x}={-3}$. הנקודה $\displaystyle (3,6)$ על הפרבולה, והיא במרחק $\displaystyle 6$ גם מהמוקד וגם מהמדריך.

כשבוחרים את ציר ה-$\displaystyle y$ דרך המוקד, $\displaystyle x$ ו-$\displaystyle y$ מתחלפים: המוקד $\displaystyle F\left(0,\frac{p}{2}\right)$, המדריך $\displaystyle {y}={-\frac{p}{2}}$, והמשוואה $\displaystyle {x^{2}}={2py}$.

זו הפרבולה של כיתה ט’: $\displaystyle {y}={\frac{1}{2p}x^{2}}$. למשל, ל-$\displaystyle {y}={\frac{1}{4}x^{2}}$, כלומר $\displaystyle {x^{2}}={4y}$, יש $\displaystyle {p}={2}$: המוקד $\displaystyle (0,1)$ והמדריך $\displaystyle {y}={-1}$.

כשהמוקד והמדריך אינם במקום הקנוני, אותה דרך נותנת פרבולה מוזזת.

דוגמה: המוקד $\displaystyle (3,2)$ והמדריך $\displaystyle {x}={-1}$.

זו הפרבולה $\displaystyle {y^{2}}={8x}$ שהוזזה ב-$\displaystyle 1$ ימינה וב-$\displaystyle 2$ למעלה: הקודקוד $\displaystyle (1,2)$, באמצע בין המוקד למדריך.

הפרבולה: $\displaystyle {y^{2}}={8x}$.

מהם $\displaystyle p$ והמוקד?

כתבו את משוואת המדריך על הלוח.

המוקד של פרבולה $\displaystyle F(5,0)$, והמדריך שלה $\displaystyle {x}={-5}$.
כתבו את משוואת הפרבולה.

המוקד של פרבולה $\displaystyle (0,2)$, והמדריך שלה $\displaystyle {y}={-2}$.
כתבו את משוואת הפרבולה.

הנקודה $\displaystyle P$ על הפרבולה $\displaystyle {y^{2}}={16x}$, ו-$\displaystyle {x_P}={9}$.

מהו $\displaystyle y_P$? (יש שתי נקודות כאלה.)

המוקד של פרבולה $\displaystyle (4,-1)$, והמדריך שלה $\displaystyle {x}={0}$.
כתבו את משוואת הפרבולה.

הפרבולה $\displaystyle {y^{2}}={2px}$ עוברת דרך הנקודה $\displaystyle (2,-4)$.

מהם המוקד והמדריך של הפרבולה?