המרחק של נקודה מישר; מצב הדדי של ישרים

גאומטריה אנליטית, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 3 מתוך 21לימוד

המרחק של נקודה מישר; מצב הדדי של ישרים

המרחק בין שני עצמים

המרחק בין שני עצמים גאומטריים הוא המרחק הקטן ביותר בין נקודה של האחד לנקודה של השני.

המרחק של נקודה $\displaystyle P$ מישר הוא אורך האנך $\displaystyle PH$ מ- $\displaystyle P$ לישר: כל קטע אחר $\displaystyle PQ$ לישר הוא יתר במשולש ישר הזווית $\displaystyle PHQ$ , ולכן ארוך מ- $\displaystyle PH$ .
המרחק בין שני ישרים מקבילים הוא המרחק של נקודה כלשהי על האחד מהשני – הוא זהה לכל הנקודות.

בכיתה י’ מצאנו את $\displaystyle PH$ בשלושה שלבים: משוואת האנך, נקודת החיתוך $\displaystyle H$ , והמרחק $\displaystyle PH$ . נוסחה אחת עושה את שלושתם יחד.

נוסחת המרחק של נקודה מישר

הנוסחה דורשת את הישר בצורה סתומה.

\displaystyle {y}={2x}

נכתב

\displaystyle {2x-y}={0}

\displaystyle {A}={2}

\displaystyle {B}={-1}

\displaystyle {C}={0}

המרחק של הנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ מהישר $\displaystyle {Ax+By+C}={0}$ :

\displaystyle d

\displaystyle =

\displaystyle \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

במונה מציבים את הנקודה באגף השמאלי של משוואת הישר. נקודה על הישר נותנת $\displaystyle 0$ – מרחק $\displaystyle 0$ .
הערך המוחלט – כי מרחק אינו שלילי.

דוגמה: הנקודה $\displaystyle K(3,1)$ והישר $\displaystyle {y}={2x}$ , כלומר $\displaystyle {2x-y}={0}$ :

d=\frac{|2\cdot3-1\cdot1+0|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}

זה המרחק שמצאנו בכיתה י’ בשלושה שלבים: האנך פוגש את הישר ב- $\displaystyle H(1,2)$ , ו- $\displaystyle {KH}={\sqrt{5}}$ .

\displaystyle 2x-y=0

\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}

\displaystyle K=(3,1)

\displaystyle H=(1,2)

המרחק בין ישרים מקבילים

כשהישרים כתובים עם אותם $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ , $\displaystyle {Ax+By+C_1}={0}$ ו- $\displaystyle {Ax+By+C_2}={0}$ , המרחק ביניהם:

\displaystyle d

\displaystyle =

\displaystyle \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

דוגמה: $\displaystyle {3x-4y+5}={0}$ ו- $\displaystyle {6x-8y-15}={0}$ .

נחלק את המשוואה השנייה ב- $\displaystyle 2$ , כדי שיהיו אותם $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ : $\displaystyle {3x-4y-7.5}={0}$ .
$\displaystyle {d}={\frac{|5-(-7.5)|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}}={\frac{12.5}{5}}={2.5}$ .

מצב הדדי של שני ישרים

לשני ישרים במישור שלושה מצבים, ומספר הפתרונות של מערכת המשוואות שלהם מבחין ביניהם:

נחתכים – שיפועים שונים; למערכת פתרון אחד, נקודת החיתוך.
מקבילים – אותו שיפוע, ישרים שונים; למערכת אין פתרון (מתקבל שוויון כמו $\displaystyle {0}={7}$ ).
מתלכדים – אותו ישר בשתי משוואות, כמו $\displaystyle {x+2y}={4}$ ו- $\displaystyle {2x+4y}={8}$ ; למערכת אינסוף פתרונות (מתקבל $\displaystyle {0}={0}$ ).

תרגיל 1

חשבו את המרחק של הנקודה $\displaystyle P(2,-1)$ מהישר $\displaystyle {3x+4y-12}={0}$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

כתבו קודם את הישר בצורה סתומה. את התוצאה כתבו בלי שורש במכנה.

חשבו את המרחק של הנקודה $\displaystyle P(1,5)$ מהישר $\displaystyle {y}={2x-3}$ .

תרגיל 3

חשבו את המרחק בין הישרים המקבילים $\displaystyle {x-2y+3}={0}$ ו- $\displaystyle {2x-4y-14}={0}$ .

תרגיל 4

פתרו כל מערכת, וקבעו את המצב ההדדי של שני הישרים.

המצב ההדדי בכל אחד מהזוגות:

תרגיל 5

כתבו משוואה ב-

\displaystyle k

לפי נוסחת המרחק. לערך מוחלט יש שתי אפשרויות.

המרחק של הנקודה $\displaystyle (k,1)$ מהישר $\displaystyle {4x+3y-7}={0}$ הוא $\displaystyle 2$ .
מצאו את $\displaystyle k$ .

נוסחאות: גאומטריה אנליטית, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

נקודות וישרים

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
השיפוע של הישר שעובר דרך שתי הנקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת ישר ששיפועו $\displaystyle m$ , העובר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$
ישרים מאונכים – $\displaystyle m_1$ , $\displaystyle m_2$ השיפועים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
הנקודה $\displaystyle C$ המחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle {AC:CB}={k:l}$ – $\displaystyle A(x_1,y_1)$ , $\displaystyle B(x_2,y_2)$
$\displaystyle C\left(\frac{lx_1+kx_2}{k+l},\frac{ly_1+ky_2}{k+l}\right)$
המרחק של הנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ מהישר $\displaystyle {Ax+By+C}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
המרחק בין הישרים המקבילים $\displaystyle {Ax+By+C_1}={0}$ ו- $\displaystyle {Ax+By+C_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

מעגל

משוואת מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$
המשוואה המפותחת – מעגל, כשאחרי השלמה לריבוע האגף הימני חיובי
$\displaystyle x^{2}+y^{2}+Cx+Dy+E=0$
משוואת המשיק למעגל בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעליו
$\displaystyle (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=R^{2}$

פרבולה

פרבולה קנונית
$\displaystyle y^{2}=2px$
המוקד
$\displaystyle F\left(\frac{p}{2},0\right)$
המדריך
$\displaystyle x=-\frac{p}{2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעל הפרבולה
$\displaystyle y\cdot y_0=p(x+x_0)$

אליפסה

אליפסה קנונית – המוקדים על ציר ה- $\displaystyle x$ כש- $\displaystyle a>b$
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
המרחק של מוקד מהראשית
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}-b^{2}}$
סכום המרחקים של נקודה $\displaystyle P$ על האליפסה מהמוקדים
$\displaystyle PF_1+PF_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a$

היפרבולה

היפרבולה קנונית – המוקדים על ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
המרחק של מוקד מהראשית
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
הפרש המרחקים של נקודה $\displaystyle P$ על ההיפרבולה מהמוקדים
$\displaystyle |PF_1-PF_2|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a$
האסימפטוטות
$\displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x$