תרגול: הפרבולה והאליפסה

גאומטריה אנליטית, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 16 מתוך 21תרגול

תרגול: הפרבולה והאליפסה

המוקד של פרבולה $\displaystyle (-3,0)$ , והמדריך שלה $\displaystyle {x}={3}$ .
כתבו את משוואת הפרבולה.

\displaystyle x=3

\displaystyle (-3,0)

כתבו את המשיק לפרבולה $\displaystyle {y^{2}}={4x}$ בנקודה $\displaystyle (4,-4)$ .

\displaystyle y^{2}=4x

\displaystyle (4,-4)

הפרבולה $\displaystyle {y^{2}}={4x}$ והישר $\displaystyle {y}={x+1}$ .

מה המצב ההדדי של הישר והפרבולה?

הקודקודים של אליפסה על ציר ה- $\displaystyle y$ הם $\displaystyle (0,\pm5)$ , והמוקדים שלה $\displaystyle (0,\pm4)$ .
כתבו את משוואת האליפסה.

\displaystyle (0,4)

\displaystyle (0,-4)

האליפסה $\displaystyle {\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}={1}$ עוברת דרך הנקודה $\displaystyle (2,3)$ .

מצאו את

\displaystyle b^{2}

: כתבו משוואה שבה

\displaystyle k

במקום

\displaystyle b^{2}

כתבו את משוואת האליפסה.

\displaystyle (2,3)

מצאו את הנקודות המשותפות לאליפסה $\displaystyle {x^{2}+4y^{2}}={20}$ ולישר $\displaystyle {x+2y}={6}$ .

מצאו את הנקודות המשותפות למעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={9}$ ולפרבולה $\displaystyle {y^{2}}={8x}$ .

הנקודה $\displaystyle P(3,y_P)$ , עם $\displaystyle y_P>0$ , על האליפסה $\displaystyle {\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}}={1}$ .
$\displaystyle F_1(-4,0)$ ו- $\displaystyle F_2(4,0)$ המוקדים.

\displaystyle y_P

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle PF_2

\displaystyle PF_1

– אפשר בלי שורשים.

נוסחאות: גאומטריה אנליטית, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

נקודות וישרים

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
השיפוע של הישר שעובר דרך שתי הנקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת ישר ששיפועו $\displaystyle m$ , העובר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$
ישרים מאונכים – $\displaystyle m_1$ , $\displaystyle m_2$ השיפועים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
הנקודה $\displaystyle C$ המחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle {AC:CB}={k:l}$ – $\displaystyle A(x_1,y_1)$ , $\displaystyle B(x_2,y_2)$
$\displaystyle C\left(\frac{lx_1+kx_2}{k+l},\frac{ly_1+ky_2}{k+l}\right)$
המרחק של הנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ מהישר $\displaystyle {Ax+By+C}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
המרחק בין הישרים המקבילים $\displaystyle {Ax+By+C_1}={0}$ ו- $\displaystyle {Ax+By+C_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

מעגל

משוואת מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$
המשוואה המפותחת – מעגל, כשאחרי השלמה לריבוע האגף הימני חיובי
$\displaystyle x^{2}+y^{2}+Cx+Dy+E=0$
משוואת המשיק למעגל בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעליו
$\displaystyle (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=R^{2}$

פרבולה

פרבולה קנונית
$\displaystyle y^{2}=2px$
המוקד
$\displaystyle F\left(\frac{p}{2},0\right)$
המדריך
$\displaystyle x=-\frac{p}{2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעל הפרבולה
$\displaystyle y\cdot y_0=p(x+x_0)$

אליפסה

אליפסה קנונית – המוקדים על ציר ה- $\displaystyle x$ כש- $\displaystyle a>b$
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
המרחק של מוקד מהראשית
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}-b^{2}}$
סכום המרחקים של נקודה $\displaystyle P$ על האליפסה מהמוקדים
$\displaystyle PF_1+PF_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a$

היפרבולה

היפרבולה קנונית – המוקדים על ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
המרחק של מוקד מהראשית
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
הפרש המרחקים של נקודה $\displaystyle P$ על ההיפרבולה מהמוקדים
$\displaystyle |PF_1-PF_2|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a$
האסימפטוטות
$\displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x$