חזרה: נקודות, קטעים וישרים

בכיתה י’ תיארנו נקודות וישרים במספרים: לכל נקודה שני שיעורים, ולכל ישר משוואה. בקורס הזה נוסיף עקומים: המעגל, הפרבולה, האליפסה וההיפרבולה. הכלים מכיתה י':

• המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו-$\displaystyle (x_2,y_2)$ – לפי משפט פיתגורס:

• אמצע הקטע – הממוצע של השיעורים: $\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$.
• השיפוע של הישר שעובר דרך שתי הנקודות:

• משוואת הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ושעובר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$:

לאותו ישר יש שתי צורות של משוואה:

• צורה מפורשת – $\displaystyle y$ לבד באגף אחד: $\displaystyle {y}={mx+b}$. ממנה קוראים את השיפוע $\displaystyle m$, ואת $\displaystyle b$ – שיעור ה-$\displaystyle y$ של נקודת החיתוך עם ציר ה-$\displaystyle y$.
• צורה סתומה – כל האיברים באגף אחד: $\displaystyle {Ax+By+C}={0}$. בצורה הזו נכתב גם ישר מאונך לציר ה-$\displaystyle x$, כמו $\displaystyle {x-3}={0}$, שאין לו שיפוע.

בקורס נשתמש הרבה בצורה הסתומה: נוסחת המרחק של נקודה מישר דורשת אותה.

ישרים מקבילים ומאונכים:

• ישרים מקבילים – אותו שיפוע: $\displaystyle {m_1}={m_2}$;
• ישרים מאונכים – מכפלת השיפועים היא $\displaystyle -1$:

$\displaystyle A(-1,2)$ ו-$\displaystyle B(5,-6)$.

• האורך: $\displaystyle {AB}={\sqrt{(5+1)^{2}+(-6-2)^{2}}}={\sqrt{36+64}}={\sqrt{100}}={10}$.
• האמצע: $\displaystyle {\left(\frac{-1+5}{2},\frac{2-6}{2}\right)}={(2,-2)}$.
• השיפוע: $\displaystyle {m}={\frac{-6-2}{5+1}}={\frac{-8}{6}}={-\frac{4}{3}}$.
• המשוואה: $\displaystyle {y-2}={-\frac{4}{3}(x+1)}$, ובצורה מפורשת $\displaystyle {y}={-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}}$.
• בצורה סתומה: נכפול ב-$\displaystyle 3$ ונעביר אגף: $\displaystyle {4x+3y-2}={0}$.

בדיקה: $\displaystyle A$ מקיימת את המשוואה – $\displaystyle {4\cdot(-1)+3\cdot2-2}={0}$.

$\displaystyle A(2,-3)$ ו-$\displaystyle B(8,5)$.

מהם שיעורי האמצע של $\displaystyle AB$?

כתבו את משוואת הישר $\displaystyle AB$ בשורה משלכם על הלוח.

הישר $\displaystyle {2x-y+3}={0}$ והנקודה $\displaystyle P(1,4)$.
כתבו את משוואת הישר שעובר דרך $\displaystyle P$ ומאונך לישר הנתון.

כתבו את משוואת הישר שעובר דרך $\displaystyle Q(-2,1)$ ומקביל לישר $\displaystyle {3x+2y}={6}$.

מצאו את נקודת החיתוך של הישרים $\displaystyle {y}={2x-1}$ ו-$\displaystyle {x+3y}={11}$.