חזרה: גאומטריה אנליטית

גאומטריה אנליטית, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 21 מתוך 21תרגול

חזרה: גאומטריה אנליטית

הכלים של הקורס

נקודות וישרים: נוסחת החלוקה, נוסחת המרחק של נקודה מישר (הישר בצורה סתומה), מספר הפתרונות של מערכת – מצב הדדי.
מקום גאומטרי: $\displaystyle P(x,y)$ , התנאי כמשוואה, פישוט עד שמזהים את הצורה.
מעגל: השלמה לריבוע, משיק בנוסחה, מצב הדדי לפי המרחק מהמרכז או לפי המרחק בין המרכזים.
פרבולה, אליפסה, היפרבולה: ההגדרה כמקום גאומטרי, המשוואה הקנונית, $\displaystyle p$ , $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ ; עם ישר ועם מעגל – מערכת משוואות, ומשיק כשהדיסקרימיננטה $\displaystyle 0$ .

$\displaystyle A(1,-2)$ ו- $\displaystyle B(9,2)$ .
הנקודה $\displaystyle C$ מחלקת את $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle {AC:CB}={3:1}$ .

מהם שיעורי $\displaystyle C$ ?

המרחק של

\displaystyle C

מהישר

\displaystyle {3x+4y+5}={0}

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מרכז המעגל $\displaystyle M(3,-2)$ , והמעגל עובר דרך $\displaystyle C(7,1)$ .
כתבו את משוואת המעגל ואת משוואת המשיק לו ב- $\displaystyle C$ , כל אחת בשורה משלה.

\displaystyle M=(3,-2)

\displaystyle C=(7,1)

המעגלים $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={25}$ ו- $\displaystyle {(x-6)^{2}+(y-8)^{2}}={25}$ .

מה המצב ההדדי של המעגלים? נמקו.

הפרבולה $\displaystyle {y^{2}}={8x}$ והישר $\displaystyle {y}={2x-8}$ .

מצאו את הנקודות המשותפות.

כתבו את המשיקים לפרבולה בשתי הנקודות.

\displaystyle y^{2}=8x

\displaystyle y=2x-8

המוקדים של אליפסה $\displaystyle (\pm4,0)$ , והיא עוברת דרך $\displaystyle (0,3)$ .
כתבו את משוואת האליפסה.

\displaystyle (-4,0)

\displaystyle (4,0)

\displaystyle (0,3)

האסימפטוטות של היפרבולה $\displaystyle {y}={\pm\frac{3}{4}x}$ , ואחד המוקדים שלה $\displaystyle (5,0)$ .
כתבו את משוואת ההיפרבולה.

\displaystyle y=\frac{3}{4}x

\displaystyle y=-\frac{3}{4}x

\displaystyle (5,0)

מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מ- $\displaystyle (0,-2)$ שווה למרחקן מהישר $\displaystyle {y}={2}$ .

\displaystyle y=2

\displaystyle (0,-2)

לאילו ערכים של $\displaystyle n$ הישר $\displaystyle {y}={x+n}$ משיק לאליפסה $\displaystyle {\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}}={1}$ ?

נוסחאות: גאומטריה אנליטית, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

נקודות וישרים

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
השיפוע של הישר שעובר דרך שתי הנקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת ישר ששיפועו $\displaystyle m$ , העובר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$
ישרים מאונכים – $\displaystyle m_1$ , $\displaystyle m_2$ השיפועים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
הנקודה $\displaystyle C$ המחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle {AC:CB}={k:l}$ – $\displaystyle A(x_1,y_1)$ , $\displaystyle B(x_2,y_2)$
$\displaystyle C\left(\frac{lx_1+kx_2}{k+l},\frac{ly_1+ky_2}{k+l}\right)$
המרחק של הנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ מהישר $\displaystyle {Ax+By+C}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
המרחק בין הישרים המקבילים $\displaystyle {Ax+By+C_1}={0}$ ו- $\displaystyle {Ax+By+C_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

מעגל

משוואת מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$
המשוואה המפותחת – מעגל, כשאחרי השלמה לריבוע האגף הימני חיובי
$\displaystyle x^{2}+y^{2}+Cx+Dy+E=0$
משוואת המשיק למעגל בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעליו
$\displaystyle (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=R^{2}$

פרבולה

פרבולה קנונית
$\displaystyle y^{2}=2px$
המוקד
$\displaystyle F\left(\frac{p}{2},0\right)$
המדריך
$\displaystyle x=-\frac{p}{2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעל הפרבולה
$\displaystyle y\cdot y_0=p(x+x_0)$

אליפסה

אליפסה קנונית – המוקדים על ציר ה- $\displaystyle x$ כש- $\displaystyle a>b$
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
המרחק של מוקד מהראשית
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}-b^{2}}$
סכום המרחקים של נקודה $\displaystyle P$ על האליפסה מהמוקדים
$\displaystyle PF_1+PF_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a$

היפרבולה

היפרבולה קנונית – המוקדים על ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
המרחק של מוקד מהראשית
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
הפרש המרחקים של נקודה $\displaystyle P$ על ההיפרבולה מהמוקדים
$\displaystyle |PF_1-PF_2|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a$
האסימפטוטות
$\displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x$