שני מעגלים: מצב הדדי

גאומטריה אנליטית, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 9 מתוך 21לימוד

שני מעגלים: מצב הדדי

המרחק בין המרכזים

שני מעגלים, רדיוסיהם $\displaystyle R_1\ge R_2$ , ו- $\displaystyle d$ המרחק בין המרכזים שלהם. המצב ההדדי נקבע לפי ההשוואה של $\displaystyle d$ לסכום הרדיוסים ולהפרש שלהם:

$\displaystyle d>R_1+R_2$ – המעגלים זרים, כל אחד מחוץ לשני; אין נקודה משותפת.
$\displaystyle {d}={R_1+R_2}$ – משיקים מבחוץ; נקודה משותפת אחת.
$\displaystyle R_1-R_2<d<R_1+R_2$ – נחתכים; שתי נקודות משותפות.
$\displaystyle {d}={R_1-R_2}$ – משיקים מבפנים; נקודה משותפת אחת.
$\displaystyle d<R_1-R_2$ – המעגל הקטן בתוך הגדול; אין נקודה משותפת.

נקודת ההשקה נמצאת על הישר שעובר דרך שני המרכזים. בשרטוט: המעגל $\displaystyle {(x-5)^{2}+y^{2}}={4}$ משיק מבחוץ למעגל $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={9}$ , והמעגל המקווקו משיק לו מבפנים.

\displaystyle x^{2}+y^{2}=9

\displaystyle (x-5)^{2}+y^{2}=4

\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=4

חיסור המשוואות: המיתר המשותף

כשמחסרים את משוואות שני המעגלים זו מזו, $\displaystyle x^{2}$ ו- $\displaystyle y^{2}$ מתבטלים ומתקבלת משוואה של ישר. כל נקודה משותפת לשני המעגלים מקיימת אותה, ולכן כשהמעגלים נחתכים, זה הישר של המיתר המשותף.

דוגמה: $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={25}$ ו- $\displaystyle {(x-6)^{2}+y^{2}}={13}$ .

$\displaystyle {d}={6}$ , $\displaystyle {R_1}={5}$ , $\displaystyle {R_2}={\sqrt{13}\approx3.6}$ : $\displaystyle 1.4<6<8.6$ , ולכן המעגלים נחתכים.
נחסר: $\displaystyle {x^{2}+y^{2}-(x^{2}-12x+36+y^{2})}={25-13}$ , כלומר $\displaystyle {12x-36}={12}$ , ו- $\displaystyle {x}={4}$ .
נציב במשוואה הראשונה: $\displaystyle {16+y^{2}}={25}$ , ולכן $\displaystyle {y}={3}$ או $\displaystyle {y}={-3}$ .

נקודות החיתוך $\displaystyle (4,3)$ ו- $\displaystyle (4,-3)$ , והמיתר המשותף על הישר $\displaystyle {x}={4}$ .

\displaystyle x^{2}+y^{2}=25

\displaystyle (x-6)^{2}+y^{2}=13

\displaystyle x=4

תרגיל 1

המעגלים $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={4}$ ו- $\displaystyle {(x-3)^{2}+(y-4)^{2}}={9}$ .

מה המצב ההדדי של המעגלים? נמקו לפי המרחק בין המרכזים.

מצאו את הנקודות המשותפות. חסרו קודם את המשוואות.

תרגיל 2

המעגלים $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={25}$ ו- $\displaystyle {(x-7)^{2}+(y-1)^{2}}={25}$ נחתכים בנקודות $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ .

אורך המיתר המשותף

\displaystyle AB

, בצורה הפשוטה ביותר

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 3

אפשר לדעת את מספר הפתרונות לפני שפותרים: השוו את המרחק בין המרכזים לסכום הרדיוסים.

כמה פתרונות יש למערכת? פתרו אותה.

תרגיל 4

סמנו על הלוח את הנקודות המשותפות לשני המעגלים.

\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=5

\displaystyle x^{2}+(y-1)^{2}=5

תרגיל 5

נתונה המערכת:
$\displaystyle {(x+2)^{2}+(y-1)^{2}}={16}$
$\displaystyle {(x-2)^{2}+(y+2)^{2}}={m^{2}}$ , ו- $\displaystyle m>0$ .

לאילו ערכים של $\displaystyle m$ יש למערכת פתרון יחיד?

לאילו ערכים של $\displaystyle m$ יש לה שני פתרונות, ולאילו – אף פתרון?

נוסחאות: גאומטריה אנליטית, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

נקודות וישרים

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
השיפוע של הישר שעובר דרך שתי הנקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת ישר ששיפועו $\displaystyle m$ , העובר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$
ישרים מאונכים – $\displaystyle m_1$ , $\displaystyle m_2$ השיפועים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
הנקודה $\displaystyle C$ המחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle {AC:CB}={k:l}$ – $\displaystyle A(x_1,y_1)$ , $\displaystyle B(x_2,y_2)$
$\displaystyle C\left(\frac{lx_1+kx_2}{k+l},\frac{ly_1+ky_2}{k+l}\right)$
המרחק של הנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ מהישר $\displaystyle {Ax+By+C}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
המרחק בין הישרים המקבילים $\displaystyle {Ax+By+C_1}={0}$ ו- $\displaystyle {Ax+By+C_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

מעגל

משוואת מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$
המשוואה המפותחת – מעגל, כשאחרי השלמה לריבוע האגף הימני חיובי
$\displaystyle x^{2}+y^{2}+Cx+Dy+E=0$
משוואת המשיק למעגל בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעליו
$\displaystyle (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=R^{2}$

פרבולה

פרבולה קנונית
$\displaystyle y^{2}=2px$
המוקד
$\displaystyle F\left(\frac{p}{2},0\right)$
המדריך
$\displaystyle x=-\frac{p}{2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעל הפרבולה
$\displaystyle y\cdot y_0=p(x+x_0)$

אליפסה

אליפסה קנונית – המוקדים על ציר ה- $\displaystyle x$ כש- $\displaystyle a>b$
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
המרחק של מוקד מהראשית
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}-b^{2}}$
סכום המרחקים של נקודה $\displaystyle P$ על האליפסה מהמוקדים
$\displaystyle PF_1+PF_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a$

היפרבולה

היפרבולה קנונית – המוקדים על ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
המרחק של מוקד מהראשית
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
הפרש המרחקים של נקודה $\displaystyle P$ על ההיפרבולה מהמוקדים
$\displaystyle |PF_1-PF_2|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a$
האסימפטוטות
$\displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x$