חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)
הנגזרת: מספר שאומר כמה מהר פונקציה משתנה בכל נקודה, ובעזרתו מוצאים איפה היא עולה, איפה היא יורדת ואיפה היא מגיעה לשיא.נושאים
הקורס נשען על מה שלמדתם בחטיבת הביניים: הפונקציה הקווית, הפרבולה והזזות שלה, פירוק לגורמים ונוסחת השורשים. הנושאים, לפי הסדר:
- קדם אנליזה: הגרף של פונקציה, פונקציות חזקה, זוגיות ואי־זוגיות, פולינום כמכפלת גורמים, אי־שוויונות בדרך גרפית ובשיטת התחומים, הזזות, מתיחות ושיקופים, ערך מוחלט והרכבה של פונקציות;
- הנגזרת: קצב שינוי ממוצע, הנגזרת בנקודה כגבול, פונקציית הנגזרת וכללי הגזירה, מהירות ותאוצה;
- הנגזרת של פולינום ויישומיה: משוואת המשיק, תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון, חקירה וסקיצה, הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת, נגזרת של מכפלה ושל פונקציה מורכבת, ובעיות ערך קיצון;
- פונקציית השורש: הפונקציה ההפוכה ל־, הנגזרת שלה, משוואת משיק וחקירה;
- הפונקציה הרציונלית: תחום הגדרה, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, נקודת אי־רציפות סליקה, נגזרת של מנה, חקירה;
- בעיות ערך קיצון עם פונקציות שורש ופונקציות רציונליות.
יש שני סוגים של שיעורים:
- שיעורי לימוד – הסבר, דוגמאות פתורות וכמה שאלות לנסות;
- שיעורי תרגול – שאלות בלבד.
איך עובדים בדף: שימוש בדף.
- הגרף של פונקציה: אפסים, סימן, עלייה וירידהלימודמה קוראים מגרף של פונקציה: נקודות חיתוך עם הצירים, תחומי חיוביות ושליליות, תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון; חזרה על הפונקציה הקווית והפונקציה הריבועית.
- פונקציות חזקה, זוגיות ואי־זוגיותלימודהפונקציות $y=x^n$: הגרף בחזקה זוגית ובחזקה אי־זוגית, ההתנהגות כש־$x$ גדל או קטן בלי סוף, ואיזו חזקה גדלה מהר יותר; פולינום ממעלה אי־זוגית ונקודת אפס; פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית.
- פולינום כמכפלת גורמיםלימודחקירה איכותנית של פולינום הכתוב כמכפלה של גורמים לינאריים וריבועיים: נקודות האפס והריבוי שלהן, גורם ריבועי בלי שורשים, הקצוות של הגרף, טבלת סימנים וסקיצה.
- אי־שוויונות: בדרך גרפית ובשיטת התחומיםלימודפתרון אי־שוויון לפי גרף, שיטת התחומים לפולינום כמכפלת גורמים, משוואה ואי־שוויון דו־ריבועיים, ואי־שוויון רציונלי מהצורה $\frac{f(x)}{g(x)}\geq0$.
- הזזות, מתיחות ושיקופיםלימודהגרפים של $f(x)+k$, $f(x-p)$, $a\cdot f(x)$, $f(ax)$, $-f(x)$ ו־$f(-x)$; המשפחה $a(x-p)^n+k$; מה קורה לנקודות האפס ולנקודות הקיצון.
- ערך מוחלט, פעולות על פונקציות והרכבהלימודהפונקציה $|x|$ והגרף של $|f(x)|$; משוואות ואי־שוויונות עם ערך מוחלט; סכום, הפרש, מכפלה ומנה של פונקציות; הרכבת פונקציות, פונקציה פנימית ופונקציה חיצונית.
- תרגול: קדם אנליזהתרגולמשוואות ואי־שוויונות בשיטת התחומים, משוואה דו־ריבועית, זוגיות ואי־זוגיות, פולינום כמכפלת גורמים, הזזות ושיקופים, ערך מוחלט והרכבת פונקציות.
- קצב שינוי: אחיד, משתנה וממוצעלימודקצב שינוי אחיד וקצב שינוי משתנה; מדרגות ברוחב קבוע; קצב השינוי הממוצע – שיפוע החותך; מהירות ממוצעת; הערכת קצב שינוי מטבלה.
- הנגזרת בנקודה: הגבול של שיפועי החותכיםלימודהמשיק – הישר הקרוב ביותר לגרף ליד נקודה; שיפוע החותך כש־h שואף ל־0; הנגזרת בנקודה כגבול, שיפוע המשיק וקצב השינוי הרגעי; מהירות רגעית.
- פונקציית הנגזרת וכללי הגזירהלימודהנגזרת כפונקציה לפי ההגדרה; נגזרת של חזקה, של קבוע, של כפל בקבוע ושל סכום, והוכחות הכללים; מתיחה של הגרף ושיפועיו; מהירות ותאוצה.
- משוואת המשיקלימודמשוואת המשיק לגרף בנקודה; משיק בשיפוע נתון ומשיק המקביל לישר; משיק אופקי; נקודות החיתוך של משיק עם הצירים; משיק ופרמטר.
- תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצוןלימודהסימן של הנגזרת קובע איפה הפונקציה עולה ואיפה יורדת; נקודה שבה הנגזרת מתאפסת חשודה כקיצון; טבלת סימנים; קיצון מקומי ומוחלט, וקיצון בקצה של תחום סגור.
- חקירת פולינוםלימודשלבי החקירה של פולינום – תחום הגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, זוגיות, נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה וסקיצה; חקירה בתחום סגור, פרמטר, ומספר הפתרונות של המשוואה f(x)=k.
- גרף הפונקציה וגרף הנגזרתלימודמגרף הפונקציה לגרף הנגזרת ובחזרה: עלייה וירידה לפי הסימן של הנגזרת, נקודות קיצון לפי החלפת הסימן; פונקציה קדומה של פולינום, ופונקציה לפי הנגזרת שלה ונקודה.
- נגזרת של מכפלה ושל פונקציה מורכבתלימודכלל הגזירה של מכפלת פונקציות והוכחתו לפי הגדרת הנגזרת; פונקציה מורכבת – פונקציה פנימית וחיצונית, וכלל הגזירה שלה; נגזרת של (ax+b)ⁿ ושל f(ax); משיקים ונקודות קיצון.
- בעיות ערך קיצון בפולינומיםלימודשלבי הפתרון של בעיית ערך קיצון; גדר לאורך קיר – גם בלי נגזרת, קופסה פתוחה מגיליון, מספרים, רווח וגובה של כדור; תחום פתוח ותחום סגור, והמשמעות של הקיצון.
- תרגול: הנגזרת של פולינום ויישומיהתרגולקצב שינוי ממוצע, הנגזרת לפי ההגדרה, כללי הגזירה, מהירות, משוואת המשיק, חקירת פולינום, תחום סגור, פרמטר, גרף הנגזרת, פונקציה קדומה ובעיית ערך קיצון.
- פונקציית השורש והפונקציה ההפוכהלימודפונקציה הפוכה ושיקוף ביחס לישר y=x; פונקציית השורש הריבועי כפונקציה ההפוכה ל־x² ופונקציית השורש השלישי; √x²=|x|; הזזות ומתיחות של √x; תחום ההגדרה של √f(x); משוואות עם שורש.
- הנגזרת של פונקציית השורשלימודהוכחת הנגזרת של √x מהגדרת הנגזרת ובעזרת השיקוף ביחס ל־y=x; משיק אנכי בראשית הצירים; הנגזרת של √f(x) לפי כלל השרשרת; משוואת משיק לגרף של פונקציית שורש.
- חקירת פונקציית שורשלימודחקירה של √f(x) ושל מכפלה עם שורש: תחום הגדרה, נקודות קיצון בקצה תחום ההגדרה, הנגזרת וטבלת סימנים, תחומי עלייה וירידה וסקיצה.
- הפונקציה הרציונלית: תחום הגדרה, אסימפטוטות ונקודה סליקהלימודהפונקציות 1/x ו־1/x², ההזזות שלהן והאסימפטוטות; הפונקציה 1/f(x) מתוך f; פונקציה רציונלית כללית – תחום הגדרה, אסימפטוטה אנכית, נקודת אי־רציפות סליקה, אסימפטוטה אופקית וסימן – לפני הנגזרת.
- נגזרת של מנה ומשוואת המשיק לפונקציה רציונליתלימודהנגזרת של $\frac{1}{x}$ לפי ההגדרה, נגזרת של מנת פונקציות מתוך כללי המכפלה והפונקציה המורכבת, ומשוואת המשיק לגרף של פונקציה רציונלית.
- חקירה של פונקציה רציונליתלימודשלבי החקירה: תחום הגדרה, אסימפטוטות ונקודת אי־רציפות סליקה, זוגיות, חיתוך עם הצירים, נגזרת, טבלת סימנים, נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה וסקיצה.
- בעיות ערך קיצון עם פונקציות שורש ופונקציות רציונליותלימודמלבן בעל שטח נתון וההיקף הקטן ביותר, תיבה בעלת נפח נתון והשטח הקטן ביותר, עלות ממוצעת, המרחק הקצר ביותר מנקודה לגרף, שחייה וריצה; תחום פתוח ותחום סגור.
- תרגול: פונקציות שורש ופונקציות רציונליותתרגולמשוואות עם שורש, תחום הגדרה, נגזרות של שורש ושל מנה, משיקים, אסימפטוטות ונקודת אי־רציפות סליקה, חקירה ובעיות ערך קיצון.
- חזרה: חשבון דיפרנציאליתרגולשאלות מכל הקורס: פולינום כמכפלת גורמים ושיקוף, הגדרת הנגזרת, משיק, חקירת פולינום, נגזרת של מכפלה, חקירת פונקציית שורש ופונקציה רציונלית, ובעיות ערך קיצון.
עודכן לאחרונה ב