ערך מוחלט, פעולות על פונקציות והרכבה

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 6 מתוך 26לימוד

ערך מוחלט, פעולות על פונקציות והרכבה

פונקציית הערך המוחלט

הערך המוחלט של מספר הוא המרחק שלו מ־0 על ציר המספרים: $\displaystyle {|5|}={5}$ , $\displaystyle {|-5|}={5}$ , $\displaystyle {|0|}={0}$ .

\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}

הגרף של $\displaystyle {y}={|x|}$ בנוי משני חלקים ישרים:

כש־ $\displaystyle x\geq0$ הוא הישר $\displaystyle {y}={x}$ , וכש־ $\displaystyle x<0$ – הישר $\displaystyle {y}={-x}$ .
$\displaystyle {|-x|}={|x|}$ : הפונקציה זוגית, והגרף סימטרי ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$ .
$\displaystyle (0,0)$ נקודת מינימום, והגרף עושה בה “פינה” חדה.

\displaystyle y=|x|

הגרף של

\displaystyle |f(x)|

את הגרף של $\displaystyle {y}={|f(x)|}$ מקבלים מהגרף של $\displaystyle f$ :

איפה ש־ $\displaystyle f(x)\geq0$ , הגרף לא משתנה.
איפה ש־ $\displaystyle f(x)<0$ , החלק שמתחת לציר ה־ $\displaystyle x$ משתקף מעליו.
נקודות האפס נשארות במקומן, ו־ $\displaystyle |f(x)|$ אף פעם לא שלילית.

בלוח שלפניכם $\displaystyle {y}={x^2-4}$ (מקווקו) ו־ $\displaystyle {y}={|x^2-4|}$ . החלק שבין $\displaystyle -2$ ל־2 עלה מעל הציר, ונקודת המינימום $\displaystyle (0,-4)$ נהייתה נקודת מקסימום $\displaystyle (0,4)$ .

\displaystyle y=x^{2}-4

\displaystyle y=|x^{2}-4|

משוואות ואי־שוויונות עם ערך מוחלט

$\displaystyle {|A|}={c}$ (כש־ $\displaystyle c>0$ ) אומר שהמרחק של $\displaystyle A$ מ־0 הוא $\displaystyle c$ , ולכן $\displaystyle {A}={c}$ או $\displaystyle {A}={-c}$ . $\displaystyle |A|<c$ אומר ש־ $\displaystyle A$ קרוב ל־0 יותר מ־ $\displaystyle c$ : $\displaystyle -c<A<c$ .

בדוגמאות שלפניכם נפתור משוואה ואי־שוויון:

$\displaystyle {|x-3|}={5}$ : $\displaystyle {x-3}={5}$ או $\displaystyle {x-3}={-5}$ , ולכן $\displaystyle {x}={8}$ או $\displaystyle {x}={-2}$ .
$\displaystyle |2x+1|<5$ : $\displaystyle -5<2x+1<5$ , כלומר $\displaystyle -6<2x<4$ , ולכן $\displaystyle -3<x<2$ .

פעולות על פונקציות

משתי פונקציות $\displaystyle f$ ו־ $\displaystyle g$ בונים פונקציות חדשות בכל אחת מארבע פעולות החשבון: $\displaystyle f(x)+g(x)$ , $\displaystyle f(x)-g(x)$ , $\displaystyle f(x)\cdot g(x)$ ו־ $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ .

הסימן של מכפלה ושל מנה נקבע מהסימנים: אותו סימן – חיובית, סימנים שונים – שלילית.
$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ לא מוגדרת איפה ש־ $\displaystyle {g(x)}={0}$ .

בדוגמה שלפניכם $\displaystyle {f(x)}={x-1}$ ו־ $\displaystyle {g(x)}={x+2}$ :

$\displaystyle {f(x)\cdot g(x)}={(x-1)(x+2)}$ שלילית כש־ $\displaystyle -2<x<1$ , שם ל־ $\displaystyle f$ ול־ $\displaystyle g$ סימנים שונים.
$\displaystyle {\frac{f(x)}{g(x)}}={\frac{x-1}{x+2}}$ מוגדרת כש־ $\displaystyle x\neq-2$ , ויש לה אותם סימנים כמו למכפלה.

הרכבת פונקציות

בהרכבת פונקציות מציבים פונקציה אחת בתוך האחרת: $\displaystyle f(g(x))$ . קודם מחשבים את $\displaystyle g(x)$ – הפונקציה הפנימית – ואת התוצאה מציבים ב־ $\displaystyle f$ – הפונקציה החיצונית.

בדוגמה שלפניכם $\displaystyle {f(x)}={x^2}$ ו־ $\displaystyle {g(x)}={x-3}$ :

$\displaystyle {f(g(x))}={(x-3)^2}$ : קודם מחסירים 3, אחר כך מעלים בריבוע.
$\displaystyle {g(f(x))}={x^2-3}$ : קודם מעלים בריבוע, אחר כך מחסירים 3.
ב־ $\displaystyle {x}={0}$ : $\displaystyle {f(g(0))}={9}$ ו־ $\displaystyle {g(f(0))}={-3}$ . הסדר של ההרכבה משנה את התוצאה.

גם ריבוע של פונקציה וערך מוחלט של פונקציה הם הרכבות: $\displaystyle (x^2-5)^3$ היא $\displaystyle x^3$ שהוצב בה $\displaystyle x^2-5$ , ו־ $\displaystyle |x^2-4|$ היא $\displaystyle |x|$ שהוצב בה $\displaystyle x^2-4$ .

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {h(x)}={|x^2-2x-3|}$ .

סמנו על הגרף את נקודות האפס של $\displaystyle h$ .

\displaystyle h(x)=|x^{2}-2x-3|

באיזה תחום $\displaystyle {h(x)}={-(x^2-2x-3)}$ ?
הסבירו למה $\displaystyle (1,4)$ היא נקודת מקסימום של $\displaystyle h$ .

תרגיל 2

פתרו את המשוואה ואת אי־השוויון.

תרגיל 3

נתונות הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={x^2+1}$ ו־ $\displaystyle {g(x)}={2x-3}$ .

כתבו את $\displaystyle f(g(x))$ בלי סוגריים.

$\displaystyle f(x)=x^{2}+1,\qquad g(x)=2x-3$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כתבו את $\displaystyle g(f(x))$ בלי סוגריים.

$\displaystyle f(x)=x^{2}+1,\qquad g(x)=2x-3$

בכל אחת מההרכבות, מהי הפונקציה הפנימית ומהי החיצונית?
האם $\displaystyle {f(g(x))}={g(f(x))}$ ?

תרגיל 4

נתונות הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={x-2}$ ו־ $\displaystyle {g(x)}={x+4}$ .

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f(x)\cdot g(x)<0$ .

מהו תחום ההגדרה של $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ ?
פתרו את אי־השוויון $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\geq0$ .

תרגיל 5

כל פונקציה היא הרכבה של שתי פונקציות.
כתבו בכל אחת את הפונקציה הפנימית ואת הפונקציה החיצונית.

$\displaystyle {h(x)}={(x^2-5)^3}$
$\displaystyle {k(x)}={|x^3-8|}$
$\displaystyle {m(x)}={(2x+1)^2+3(2x+1)}$

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={|x^2-4|}$ .

סמנו על הלוח את נקודות החיתוך של הגרף של $\displaystyle f$ עם הישר $\displaystyle {y}={3}$ .

\displaystyle f(x)=|x^{2}-4|

\displaystyle g(x)=3

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f(x)}={3}$ .

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f(x)<3$ .
בדקו על הלוח: איפה הגרף מתחת לישר?

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אלגברה

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

הנגזרת

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

כללי גזירה

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$