דלג לתוכן

הנגזרת בנקודה: הגבול של שיפועי החותכים

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 9 מתוך 26לימוד

הנגזרת בנקודה: הגבול של שיפועי החותכים

המשיק: הגרף מקרוב

כשמגדילים את הגרף סביב נקודה שעליו, הוא נראה ישר יותר ויותר, עד שאי אפשר להבחין בעין בינו לבין קו ישר. הישר הזה, הקרוב ביותר לגרף ליד הנקודה, הוא המשיק לגרף בנקודה.

בלוח שלפניכם הגרף של f(x)=x2\displaystyle {f(x)}={x^2} והמשיק לו בנקודה (1,1)\displaystyle (1,1). הגדילו את הלוח סביב הנקודה וראו איך הגרף והמשיק מתקרבים זה לזה.

f(x)=x2\displaystyle f(x)=x^{2}
y=2x−1\displaystyle y=2x-1
A=(1,1)\displaystyle A=(1,1)
  • המשיק מתאר לאן הגרף הולך ליד הנקודה.
  • שיפוע המשיק חיובי – הפונקציה עולה שם; שלילי – יורדת.
  • כאן שיפוע המשיק הוא 2. איך מוצאים אותו בחישוב? זה נושא השיעור.
מחותך למשיק

ניקח על הגרף את הנקודה שבה x=x0\displaystyle {x}={x_0}, ונקודה קרובה אליה שבה x=x0+h\displaystyle {x}={x_0+h}. השיפוע של החותך שעובר דרכן הוא קצב השינוי הממוצע ביניהן:

f(x0+h)−f(x0)h\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
  • ככל ש־h\displaystyle h קטן, הנקודה השנייה מתקרבת לראשונה, והחותך מתקרב למשיק.
  • לכן שיפוע המשיק הוא המספר ששיפועי החותכים מתקרבים אליו כש־h\displaystyle h מתקרב ל־0.
  • כותבים “h→0\displaystyle h\to0” וקוראים “h\displaystyle h שואף ל־0”. המספר ש־h\displaystyle h מתקרב אליו הוא 0, אבל h\displaystyle h עצמו אף פעם אינו 0 – אחרת אין חותך, וגם אין חילוק ב־0.
המהירות של רכב החייזרים

רכב חייזרים נוסע לאורך מסילה. כעבור x\displaystyle x שניות הוא עבר f(x)=2x2\displaystyle {f(x)}={2x^2} מטרים.

ב־5 השניות הראשונות הרכב עבר f(5)=50\displaystyle {f(5)}={50} מטרים, ולכן המהירות הממוצעת שלו 505=10\displaystyle {\frac{50}{5}}={10} מטרים בשנייה. אבל מה המהירות שלו בדיוק ברגע x=5\displaystyle {x}={5}?

בדוגמה שלפניכם נחשב את המהירות הממוצעת בפרקי זמן קצרים יותר ויותר אחרי השנייה החמישית:

  • באלפית השנייה שאחרי x=5\displaystyle {x}={5}: f(5.001)−f(5)0.001=50.020002−500.001=20.002\displaystyle {\frac{f(5.001)-f(5)}{0.001}}={\frac{50.020002-50}{0.001}}={20.002} מטרים בשנייה.
  • בפרק זמן כללי h\displaystyle h:
f(5+h)−f(5)h=2(5+h)2−2⋅52h=20h+2h2h=20+2h\frac{f(5+h)-f(5)}{h}=\frac{2(5+h)^2-2\cdot5^2}{h}=\frac{20h+2h^2}{h}=20+2h
  • כש־h→0\displaystyle h\to0, הביטוי 20+2h\displaystyle 20+2h שואף ל־20.

המהירות של הרכב ברגע x=5\displaystyle {x}={5} היא 20 מטרים בשנייה: זו המהירות הרגעית, מה שמד המהירות במכונית מראה.

הנגזרת בנקודה

הנגזרת של f\displaystyle f בנקודה x0\displaystyle x_0, שמסמנים f′(x0)\displaystyle f'(x_0), היא המספר ששיפועי החותכים שואפים אליו כש־h→0\displaystyle h\to0. בסימן הגבול (lim):

f′(x0)\displaystyle f'(x_0) =\displaystyle = lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
  • f′(x0)\displaystyle f'(x_0) הוא שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=x0\displaystyle {x}={x_0}.
  • f′(x0)\displaystyle f'(x_0) הוא קצב השינוי הרגעי של f\displaystyle f ב־x0\displaystyle x_0; כש־f\displaystyle f היא הדרך לפי הזמן – המהירות הרגעית.
  • אפשר לכתוב גם בחצים: f(x0+h)−f(x0)h→h→0f′(x0)\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\xrightarrow[h\to0]{}f'(x_0).
דוגמה: f(x)=x2−3x\displaystyle {f(x)}={x^2-3x} ב־x0=2\displaystyle {x_0}={2}

בדוגמה שלפניכם נמצא את f′(2)\displaystyle f'(2) של f(x)=x2−3x\displaystyle {f(x)}={x^2-3x} לפי ההגדרה.

  • f(2)=4−6=−2\displaystyle {f(2)}={4-6}={-2}.
  • f(2+h)=(2+h)2−3(2+h)=4+4h+h2−6−3h=h2+h−2\displaystyle {f(2+h)}={(2+h)^2-3(2+h)}={4+4h+h^2-6-3h}={h^2+h-2}.
  • שיפוע החותך: f(2+h)−f(2)h=h2+hh=h+1\displaystyle {\frac{f(2+h)-f(2)}{h}}={\frac{h^2+h}{h}}={h+1}.
  • כש־h→0\displaystyle h\to0, h+1\displaystyle h+1 שואף ל־1, ולכן f′(2)=1\displaystyle {f'(2)}={1}.

שימו לב לסדר: קודם מפשטים את השבר ומצמצמים ב־h\displaystyle h, ורק אחר כך שואלים לאן הביטוי שואף. הצבה של h=0\displaystyle {h}={0} בשבר עצמו נותנת 00\displaystyle \frac{0}{0}, שאינו מספר.

תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=x2\displaystyle {f(x)}={x^2}.

א

פשטו את שיפוע החותך בין x=3\displaystyle {x}={3} ל־x=3+h\displaystyle {x}={3+h}.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    לאן הביטוי שקיבלתם שואף כש־h→0\displaystyle h\to0?
    כתבו את f′(3)\displaystyle f'(3).

    f(x)=x2\displaystyle f(x)=x^{2}

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 2

      נתונה הפונקציה f(x)=x2−4x+1\displaystyle {f(x)}={x^2-4x+1}.
      f(1)=−2\displaystyle {f(1)}={-2}.

      א

      פשטו את שיפוע החותך בין x=1\displaystyle {x}={1} ל־x=1+h\displaystyle {x}={1+h}.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב

        כתבו את f′(1)\displaystyle f'(1).

        f(x)=x2−4x+1\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+1

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ג

          בלוח שלפניכם הגרף של f\displaystyle f והמשיק לו בנקודה (1,−2)\displaystyle (1,-2).
          האם שיפוע המשיק מתאים לתשובה שלכם?
          האם הפונקציה עולה או יורדת ליד x=1\displaystyle {x}={1}?

          f(x)=x2−4x+1\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+1
          y=−2x\displaystyle y=-2x
          A=(1,−2)\displaystyle A=(1,-2)
          תרגיל 3

          נתונה הפונקציה f(x)=x3\displaystyle {f(x)}={x^3}.

          א

          פשטו את שיפוע החותך בין x=2\displaystyle {x}={2} ל־x=2+h\displaystyle {x}={2+h}.
          היעזרו ב־(2+h)3=8+12h+6h2+h3\displaystyle {(2+h)^3}={8+12h+6h^2+h^3}.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

            כתבו את f′(2)\displaystyle f'(2).

            f(x)=x3\displaystyle f(x)=x^{3}

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 4

              כדור נזרק ישר למעלה.
              כעבור t\displaystyle t שניות הגובה שלו s(t)=20t−5t2\displaystyle {s(t)}={20t-5t^2} מטרים.

              א

              פשטו את המהירות הממוצעת של הכדור בין t=1\displaystyle {t}={1} ל־t=1+h\displaystyle {t}={1+h}.

              s(t)=20t−5t2\displaystyle s(t)=20t-5t^{2}

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                מהי המהירות הרגעית של הכדור כעבור שנייה אחת?

                s(t)=20t−5t2\displaystyle s(t)=20t-5t^{2}

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ג

                  מהי המהירות הרגעית של הכדור כעבור 2 שניות?

                  s(t)=20t−5t2\displaystyle s(t)=20t-5t^{2}

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ד

                    מה קורה לכדור ברגע t=2\displaystyle {t}={2}?
                    הסבירו לפי התשובה שלכם בסעיף ג.

                    תרגיל 5

                    נתונה הפונקציה הקווית f(x)=5−2x\displaystyle {f(x)}={5-2x}.

                    א

                    פשטו את שיפוע החותך בין x=3\displaystyle {x}={3} ל־x=3+h\displaystyle {x}={3+h}.

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ב

                      מהי הנגזרת של f\displaystyle f ב־x=3\displaystyle {x}={3}?
                      הסבירו למה הנגזרת של פונקציה קווית שווה לשיפוע שלה בכל נקודה.

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה