דלג לתוכן

גרף הפונקציה וגרף הנגזרת

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 14 מתוך 26לימוד

גרף הפונקציה וגרף הנגזרת

מה גרף הנגזרת מספר

הערך של f′(x)\displaystyle f'(x) הוא שיפוע המשיק לגרף של f\displaystyle f. לכן כל תכונה של גרף הנגזרת היא תכונה של גרף הפונקציה:

  • גרף הנגזרת מעל ציר ה־x\displaystyle x (f′>0\displaystyle f'>0) – הפונקציה עולה.
  • גרף הנגזרת מתחת לציר ה־x\displaystyle x (f′<0\displaystyle f'<0) – הפונקציה יורדת.
  • גרף הנגזרת חוצה את ציר ה־x\displaystyle x – לפונקציה יש נקודת קיצון: מלמטה למעלה (מ־− ל־+) – מינימום; מלמעלה למטה – מקסימום.
  • גרף הנגזרת נוגע בציר ה־x\displaystyle x בלי לחצות אותו – המשיק אופקי, אבל אין קיצון.

הנגזרת של פולינום ממעלה n\displaystyle n היא פולינום ממעלה n−1\displaystyle n-1: הנגזרת של פונקציה ממעלה שלישית היא פרבולה, והנגזרת של פרבולה היא ישר.

דוגמה: f(x)=x3−3x\displaystyle {f(x)}={x^3-3x}

בלוח הראשון הגרף של f(x)=x3−3x\displaystyle {f(x)}={x^3-3x}:

f(x)=x3−3x\displaystyle f(x)=x^{3}-3x

בלוח השני הגרף של הנגזרת שלה, f′(x)=3x2−3\displaystyle {f'(x)}={3x^2-3}:

y=3x2−3\displaystyle y=3x^{2}-3
  • f\displaystyle f עולה כש־x<−1\displaystyle x<-1 וכש־x>1\displaystyle x>1 – שם הפרבולה מעל ציר ה־x\displaystyle x.
  • f\displaystyle f יורדת כש־−1<x<1\displaystyle -1<x<1 – שם הפרבולה מתחת לציר.
  • בנקודות הקיצון של f\displaystyle f, ב־x=−1\displaystyle {x}={-1} וב־x=1\displaystyle {x}={1}, הפרבולה חוצה את ציר ה־x\displaystyle x.
  • ב־x=0\displaystyle {x}={0} הירידה של f\displaystyle f הכי תלולה, ושם לפרבולה יש מינימום, f′(0)=−3\displaystyle {f'(0)}={-3}.
מגרף הנגזרת לפונקציה

גם כשרק גרף הנגזרת ידוע, אפשר לקרוא ממנו איפה הפונקציה עולה ואיפה יש לה קיצון. בלוח שלפניכם הגרף של הנגזרת f′(x)=(x+1)2(x−3)\displaystyle {f'(x)}={(x+1)^2(x-3)} של פונקציה f\displaystyle f:

y=(x+1)2(x−3)\displaystyle y=(x+1)^{2}(x-3)
x\displaystyle xx<−1\displaystyle x<-1−1\displaystyle -1−1<x<3\displaystyle -1<x<33\displaystyle 3x>3\displaystyle x>3
f′(x)\displaystyle f'(x)−0−0+
f(x)\displaystyle f(x)יורדתאין קיצוןיורדתמינימוםעולה
  • ב־x=−1\displaystyle {x}={-1} גרף הנגזרת נוגע בציר ה־x\displaystyle x – ל־f\displaystyle f יש שם משיק אופקי בלי קיצון.
  • ב־x=3\displaystyle {x}={3} הוא חוצה את הציר מלמטה למעלה – ל־f\displaystyle f יש שם מינימום.
  • מגרף הנגזרת יודעים את שיעור ה־x\displaystyle x של המינימום, אבל לא את שיעור ה־y\displaystyle y שלו.
פונקציה קדומה

פונקציה קדומה של f\displaystyle f היא פונקציה F\displaystyle F שהנגזרת שלה היא f\displaystyle f: F′(x)=f(x)\displaystyle {F'(x)}={f(x)}. מוצאים אותה כשהולכים בכלל הגזירה אחורה – מעלים את החזקה ב־1 ומחלקים בחזקה החדשה:

(xn+1n+1)′\displaystyle \left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' =\displaystyle = xn\displaystyle x^n

למשל, ל־f(x)=3x2\displaystyle {f(x)}={3x^2} פונקציה קדומה היא F(x)=x3\displaystyle {F(x)}={x^3}. אבל גם x3+5\displaystyle x^3+5 ו־x3−2\displaystyle x^3-2 הן פונקציות קדומות: הנגזרת של מספר קבוע היא 0.

  • לכל הפונקציות הקדומות של f\displaystyle f אותם שיפועים בכל x\displaystyle x, ולכן הגרפים שלהן הם אותו גרף, מוזז למעלה או למטה.
  • לכן הפונקציה הקדומה אינה יחידה: כל הפונקציות הקדומות הן F(x)+C\displaystyle F(x)+C, ו־C\displaystyle C מספר כלשהו.
פונקציה לפי הנגזרת ונקודה

מכל הפונקציות הקדומות, רק אחת עוברת בנקודה נתונה. הנקודה נותנת משוואה ל־C\displaystyle C.

בדוגמה שלפניכם נמצא את f\displaystyle f, אם f′(x)=6x2−4x\displaystyle {f'(x)}={6x^2-4x} והגרף של f\displaystyle f עובר בנקודה (1,5)\displaystyle (1,5):

  • הפונקציות הקדומות: f(x)=2x3−2x2+C\displaystyle {f(x)}={2x^3-2x^2+C}.
  • f(1)=5\displaystyle {f(1)}={5}, ולכן 2−2+C=5\displaystyle {2-2+C}={5}, ו־C=5\displaystyle {C}={5}.
  • f(x)=2x3−2x2+5\displaystyle {f(x)}={2x^3-2x^2+5}.
תרגיל 1

בלוח שלפניכם הגרף של f(x)=x3−6x2\displaystyle {f(x)}={x^3-6x^2}.

א

הוסיפו ללוח את הגרף של f′\displaystyle f': כתבו את f′(x)\displaystyle f'(x) בשורה משלכם.

f(x)=x3−6x2\displaystyle f(x)=x^{3}-6x^{2}

ב

איפה הגרף שכתבתם מעל ציר ה־x\displaystyle x?
מה קורה לגרף של f\displaystyle f באותו תחום?

תרגיל 2

בלוח שלפניכם הגרף של הנגזרת f′(x)=x2−2x−3\displaystyle {f'(x)}={x^2-2x-3} של פונקציה f\displaystyle f.

א

סמנו את הנקודות שבהן גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x\displaystyle x.

y=x2−2x−3\displaystyle y=x^{2}-2x-3

ב

פתרו את אי־השוויון f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0: איפה f\displaystyle f עולה?

    ג

    לאיזה x\displaystyle x יש ל־f\displaystyle f מקסימום, ולאיזה מינימום?
    נמקו לפי גרף הנגזרת.

    מקסימום

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      מינימום

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 3

        הנגזרת של פונקציה f\displaystyle f היא f′(x)=x(x−2)2\displaystyle {f'(x)}={x(x-2)^2}.

        א

        פתרו את אי־השוויון f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0.

          ב

          מהן נקודות הקיצון של f\displaystyle f, ומה הסוג שלהן?
          מה יש ל־f\displaystyle f ב־x=2\displaystyle {x}={2}?

          תרגיל 4

          נתונה הפונקציה f(x)=4x3−6x+1\displaystyle {f(x)}={4x^3-6x+1}.

          א

          כתבו שלוש פונקציות קדומות שונות של f\displaystyle f.

          ב

          בדקו אחת מהן: כתבו (F(x))′\displaystyle \left(F(x)\right)' עם הפונקציה שבחרתם, וגזרו.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 5

            הנגזרת של פונקציה f\displaystyle f היא f′(x)=3x2−4\displaystyle {f'(x)}={3x^2-4}.
            הגרף של f\displaystyle f עובר בנקודה (1,2)\displaystyle (1,2).

            א

            כתבו את כל הפונקציות הקדומות של f′\displaystyle f'.

            ב

            הציבו את הנקודה ומצאו את C\displaystyle C.

              ג

              כתבו את f(x)\displaystyle f(x) בשורה משלכם על הלוח, ובדקו שהגרף עובר בנקודה.

              A=(1,2)\displaystyle A=(1,2)