פונקציית הנגזרת וכללי הגזירה

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 10 מתוך 26לימוד

פונקציית הנגזרת וכללי הגזירה

פונקציית הנגזרת

אפשר לחשב את הנגזרת בכל נקודה בבת אחת: במקום מספר $\displaystyle x_0$ כותבים $\displaystyle x$ . כך מתקבלת פונקציה חדשה, פונקציית הנגזרת $\displaystyle f'(x)$ , שמתאימה לכל $\displaystyle x$ את שיפוע המשיק שם.

בדוגמה שלפניכם נמצא את הנגזרת של $\displaystyle {f(x)}={x^2}$ לפי ההגדרה:

\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h

כש־ $\displaystyle h\to0$ , $\displaystyle 2x+h$ שואף ל־ $\displaystyle 2x$ , ולכן $\displaystyle {f'(x)}={2x}$ .
עכשיו כל נגזרת בנקודה היא הצבה: $\displaystyle {f'(1)}={2}$ , $\displaystyle {f'(3)}={6}$ , $\displaystyle {f'(-2)}={-4}$ .

נגזרת של חזקה ושל קבוע

באותה דרך מוצאים לפי ההגדרה:

$\displaystyle {(x^3)'}={3x^2}$ (תרגיל 1);
$\displaystyle {(x)'}={1}$ : הגרף של $\displaystyle {y}={x}$ הוא ישר ששיפועו 1;
$\displaystyle {(c)'}={0}$ לכל מספר קבוע $\displaystyle c$ : הגרף של $\displaystyle {y}={c}$ הוא ישר אופקי, ושיפועו 0.

כל המקרים האלה הם מקרים של כלל אחד – החזקה יורדת לפנים, והמעריך קטן ב־1:

\displaystyle (x^n)'

\displaystyle =

\displaystyle nx^{n-1}

למשל $\displaystyle {(x^5)'}={5x^4}$ , ו־ $\displaystyle {(x^{10})'}={10x^9}$ .

נגזרת של כפל בקבוע

\displaystyle (c\cdot f(x))'

\displaystyle =

\displaystyle c\cdot f'(x)

בהוכחה שלפניכם נראה, לפי ההגדרה, שהנגזרת של $\displaystyle c\cdot f(x)$ היא $\displaystyle c\cdot f'(x)$ .

$\displaystyle {g(x)}={c\cdot f(x)}$ , ולכן שיפוע החותך של $\displaystyle g$ הוא $\displaystyle {\frac{c\cdot f(x+h)-c\cdot f(x)}{h}}={c\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ .
כש־ $\displaystyle h\to0$ , השבר $\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ שואף ל־ $\displaystyle f'(x)$ .
לכן $\displaystyle c$ כפול השבר שואף ל־ $\displaystyle c\cdot f'(x)$ , כלומר $\displaystyle {g'(x)}={c\cdot f'(x)}$ .

בגרף: $\displaystyle {y}={c\cdot f(x)}$ הוא מתיחה אנכית של הגרף של $\displaystyle f$ פי $\displaystyle c$ , וכל השיפועים נמתחים איתו פי $\displaystyle c$ . בלוח שלפניכם $\displaystyle {f(x)}={x^2}$ ו־ $\displaystyle {g(x)}={3x^2}$ , והמשיקים שלהם ב־ $\displaystyle {x}={1}$ :

\displaystyle f(x)=x^{2}

\displaystyle g(x)=3x^{2}

\displaystyle y=2x-1

\displaystyle y=6x-3

שיפוע המשיק ל־ $\displaystyle f$ ב־ $\displaystyle {x}={1}$ הוא $\displaystyle {f'(1)}={2}$ .
שיפוע המשיק ל־ $\displaystyle g$ שם הוא $\displaystyle {g'(1)}={3\cdot2}={6}$ – פי 3.

נגזרת של סכום ושל הפרש

\displaystyle (f(x)\pm g(x))'

\displaystyle =

\displaystyle f'(x)\pm g'(x)

בהוכחה שלפניכם נראה, לפי ההגדרה, שהנגזרת של $\displaystyle f(x)+g(x)$ היא $\displaystyle f'(x)+g'(x)$ .

$\displaystyle {k(x)}={f(x)+g(x)}$ , ושיפוע החותך של $\displaystyle k$ הוא $\displaystyle \frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$ .
נסדר את המונה ונפצל את השבר: $\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$ .
כש־ $\displaystyle h\to0$ , השבר הראשון שואף ל־ $\displaystyle f'(x)$ והשני ל־ $\displaystyle g'(x)$ .
לכן $\displaystyle {k'(x)}={f'(x)+g'(x)}$ .

את הנגזרת של הפרש מוכיחים באותה דרך (תרגיל 4).

גזירה של פולינום

שלושת הכללים יחד גוזרים כל פולינום, איבר אחרי איבר. בדוגמה שלפניכם נגזור את $\displaystyle {f(x)}={4x^3-5x^2+7x-2}$ :

f'(x)=4\cdot3x^2-5\cdot2x+7\cdot1-0=12x^2-10x+7

ושיפוע המשיק ב־ $\displaystyle {x}={1}$ : $\displaystyle {f'(1)}={12-10+7}={9}$ .

הכללים לא מכירים מכפלה: את $\displaystyle (x-3)(x+2)$ פותחים קודם לפולינום, $\displaystyle x^2-x-6$ , ורק אחר כך גוזרים.

מהירות ותאוצה

כש־ $\displaystyle s(t)$ היא הדרך (או הגובה) לפי הזמן, הנגזרת שלה היא המהירות הרגעית, והנגזרת של המהירות היא התאוצה – קצב השינוי של המהירות:

\displaystyle v(t)

\displaystyle =

\displaystyle s'(t)

בדוגמה שלפניכם כדור נבעט מהקרקע ישר למעלה במהירות 30 מטרים בשנייה. לפי חוקי התנועה של ניוטון, הגובה שלו כעבור $\displaystyle t$ שניות הוא $\displaystyle {y(t)}={30t-5t^2}$ מטרים (המספר 5 הוא חצי מתאוצת הכובד, שהיא בערך 10 מטרים לשנייה בשנייה).

המהירות: $\displaystyle {v(t)}={y'(t)}={30-10t}$ . ב־ $\displaystyle {t}={0}$ היא 30 – המהירות שבה הכדור נבעט.
התאוצה: $\displaystyle {a(t)}={v'(t)}={-10}$ . המהירות קטנה ב־10 מטרים בשנייה בכל שנייה – כוח הכובד מאט את הכדור.
ב־ $\displaystyle {t}={3}$ המהירות 0: הכדור מפסיק לעלות, ומתחיל ליפול. הגובה אז $\displaystyle {y(3)}={90-45}={45}$ מטרים.
$\displaystyle {y(t)}={0}$ כש־ $\displaystyle {t(30-5t)}={0}$ , כלומר ב־ $\displaystyle {t}={6}$ : הכדור נוחת.

תרגיל 1

נמצא את הנגזרת של $\displaystyle {f(x)}={x^3}$ לפי ההגדרה.

פשטו את שיפוע החותך $\displaystyle \frac{(x+h)^3-x^3}{h}$ .
היעזרו ב־ $\displaystyle {(x+h)^3}={x^3+3x^2h+3xh^2+h^3}$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

לאן הביטוי שקיבלתם שואף כש־ $\displaystyle h\to0$ ?
כתבו את הנגזרת של $\displaystyle x^3$ .

תרגיל 2

גזרו.

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-6x}$ .

חשבו את שיפוע המשיק לגרף של $\displaystyle f$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={2}$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}-6x$

באילו נקודות על הגרף שיפוע המשיק הוא 6?
כתבו משוואה ופתרו אותה.

תרגיל 4

הוכיחו לפי ההגדרה: $\displaystyle {(f(x)-g(x))'}={f'(x)-g'(x)}$ .

תרגיל 5

כדור נבעט מהקרקע ישר למעלה.
הגובה שלו כעבור $\displaystyle t$ שניות הוא $\displaystyle {y(t)}={40t-5t^2}$ מטרים.

מצאו את המהירות $\displaystyle v(t)$ של הכדור.

$\displaystyle y(t)=40t-5t^{2}$

מתי הכדור מפסיק לעלות?
כתבו משוואה ופתרו אותה.

לאיזה גובה הכדור מגיע?

$\displaystyle y(t)=40t-5t^{2}$

מצאו את התאוצה של הכדור: גזרו את המהירות שמצאתם בסעיף א.

מתי הכדור נוחת?
מה המהירות שלו ברגע הנחיתה, ומה המשמעות של הסימן שלה?

\displaystyle t

\displaystyle v

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אלגברה

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

הנגזרת

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

כללי גזירה

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$