בעיות ערך קיצון עם פונקציות שורש ופונקציות רציונליות

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 24 מתוך 26לימוד

בעיות ערך קיצון עם פונקציות שורש ופונקציות רציונליות

שלבי הפתרון

בעיית ערך קיצון עם שורש או עם שבר נפתרת באותם שלבים כמו עם פולינום:

בוחרים משתנה $\displaystyle x$ , וכותבים את הגודל שצריך להקטין או להגדיל כפונקציה שלו.
קובעים את התחום של $\displaystyle x$ לפי הבעיה: אורך חיובי, נקודה בין שני מקומות.
גוזרים, ופותרים $\displaystyle {f'(x)}={0}$ . פתרון מחוץ לתחום – פוסלים.
מוודאים שזה מינימום או מקסימום: בתחום פתוח – טבלת סימנים של $\displaystyle f'$ ; בתחום סגור – משווים גם לערכים בקצות התחום.

בבעיות של היום הפונקציה כוללת שבר כמו $\displaystyle \frac{72}{x}$ או שורש כמו $\displaystyle \sqrt{x^2+9}$ .

דוגמה: היקף קטן ביותר

שטח של מלבן הוא $\displaystyle 36\text{ cm}^2$ .
מה ההיקף הקטן ביותר שיכול להיות לו?

בפתרון שלפניכם נבחר את אחת הצלעות כמשתנה ונבטא בעזרתה את ההיקף:

צלע אחת $\displaystyle x$ , והשנייה $\displaystyle \frac{36}{x}$ ; התחום $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle {P(x)}={2x+\frac{72}{x}}$ .
$\displaystyle {P'(x)}={2-\frac{72}{x^2}}={0}$ , ולכן $\displaystyle {x^2}={36}$ ו־ $\displaystyle {x}={6}$ ( $\displaystyle {x}={-6}$ מחוץ לתחום).

$\displaystyle x$	$\displaystyle 0<x<6$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle x>6$
$\displaystyle P'(x)$	−	0	+
$\displaystyle P(x)$	יורדת	מינימום	עולה

המלבן הוא ריבוע $\displaystyle 6\times6$ , וההיקף הקטן ביותר הוא $\displaystyle {P(6)}={12+12}={24}$ ס"מ.

דוגמה: המרחק הקצר ביותר מנקודה לגרף

מצאו את הנקודה על הגרף של $\displaystyle {y}={\sqrt{x}}$ הקרובה ביותר לנקודה $\displaystyle A(3,0)$ .

בפתרון שלפניכם נבטא את המרחק בעזרת שיעור ה־ $\displaystyle x$ של נקודה על הגרף:

נקודה על הגרף היא $\displaystyle (x,\sqrt{x})$ , ו־ $\displaystyle x\geq0$ .
לפי נוסחת המרחק: $\displaystyle {d(x)}={\sqrt{(x-3)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}={\sqrt{x^2-5x+9}}$ .
$\displaystyle {d'(x)}={\frac{2x-5}{2\sqrt{x^2-5x+9}}}$ . המכנה חיובי, ולכן $\displaystyle {d'(x)}={0}$ כש־ $\displaystyle {2x-5}={0}$ , כלומר $\displaystyle {x}={2.5}$ .
משמאל ל־2.5 הנגזרת שלילית, ומימין לה חיובית: מינימום.

\displaystyle f(x)=\sqrt{x}

\displaystyle A=(3,0)

\displaystyle P=(2.5,1.5811)

הנקודה הקרובה ביותר היא $\displaystyle (2.5,\sqrt{2.5})$ , והמרחק הקצר ביותר הוא $\displaystyle {d(2.5)}={\sqrt{2.75}}={\frac{\sqrt{11}}{2}\approx1.66}$ .
הסימן של $\displaystyle d'$ הוא הסימן של $\displaystyle 2x-5$ – הנגזרת של הביטוי שמתחת לשורש. לכן אפשר גם למצוא את המינימום של $\displaystyle x^2-5x+9$ : איפה שהביטוי שמתחת לשורש הכי קטן, גם השורש הכי קטן.

תרגיל 1

בונים תיבה פתוחה מלמעלה, שהבסיס שלה ריבוע.
הנפח של התיבה $\displaystyle 32\text{ dm}^3$ .
$\displaystyle x$ – צלע הבסיס, בדצימטרים.

בטאו את הגובה של התיבה בעזרת $\displaystyle x$ .
הראו שהשטח של הבסיס ושל ארבע הדפנות הוא $\displaystyle {S(x)}={x^2+\frac{128}{x}}$ .

מצאו את $\displaystyle S'(x)$ .

$\displaystyle S(x)=x^{2}+\frac{128}{x}$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

פתרו את המשוואה $\displaystyle {S'(x)}={0}$ .

חשבו את השטח הקטן ביותר.

$\displaystyle S(x)=x^{2}+\frac{128}{x}$

מהן המידות של התיבה שהשטח שלה הכי קטן?
הראו בטבלת סימנים שזה מינימום.

צלע הבסיס

הגובה

תרגיל 2

מפעל מייצר $\displaystyle x$ מוצרים ביום.
העלות הכוללת של הייצור היא $\displaystyle 0.5x^2+20x+800$ ₪.
העלות הממוצעת למוצר היא העלות הכוללת חלקי $\displaystyle x$ : $\displaystyle {A(x)}={\frac{1}{2}x+20+\frac{800}{x}}$ .

מצאו את $\displaystyle A'(x)$ .

$\displaystyle A(x)=\frac{1}{2}x+20+\frac{800}{x}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {A'(x)}={0}$ .

חשבו את העלות הממוצעת למוצר בכמות שמצאתם.

$\displaystyle A(x)=\frac{1}{2}x+20+\frac{800}{x}$

כמה מוצרים ביום כדאי למפעל לייצר כדי שהעלות הממוצעת למוצר תהיה הכי קטנה?
איזה פתרון של המשוואה פסלתם, ולמה?

תרגיל 3

שחיין נמצא באי $\displaystyle B$ , במרחק 3 ק"מ מהנקודה $\displaystyle C$ שעל החוף.
הכפר $\displaystyle A$ נמצא על החוף, במרחק 10 ק"מ מ־ $\displaystyle C$ .
השחיין שוחה במהירות 3 קמ"ש, ורץ לאורך החוף במהירות 5 קמ"ש.
הוא שוחה אל הנקודה $\displaystyle P$ שעל החוף, בין $\displaystyle C$ ל־ $\displaystyle A$ , ומשם רץ אל הכפר.
$\displaystyle x$ – המרחק $\displaystyle CP$ , בקילומטרים.

הראו שהזמן, בשעות, הוא $\displaystyle {T(x)}={\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}+\frac{10-x}{5}}$ .
מהו התחום של $\displaystyle x$ ?

מצאו את $\displaystyle T'(x)$ .

$\displaystyle T(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3}+\frac{10-x}{5}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {T'(x)}={0}$ .

התחום סגור: חשבו את הזמן בנקודה שמצאתם ובשני קצות התחום.

\displaystyle T(0)

$\displaystyle T(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3}+\frac{10-x}{5}$

הקיצון

$\displaystyle T(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3}+\frac{10-x}{5}$

\displaystyle T(10)

$\displaystyle T(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3}+\frac{10-x}{5}$

לאיזו נקודה על החוף כדאי לשחיין לשחות?
מהו הזמן הקצר ביותר?

\displaystyle CP

הזמן

תרגיל 4

נתונה הנקודה $\displaystyle A(4,0)$ והגרף של $\displaystyle {y}={\sqrt{x}}$ .
המרחק מ־ $\displaystyle A$ לנקודה $\displaystyle (x,\sqrt{x})$ על הגרף הוא $\displaystyle {d(x)}={\sqrt{x^2-7x+16}}$ .

מצאו את $\displaystyle d'(x)$ .

$\displaystyle d(x)=\sqrt{x^{2}-7x+16}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {d'(x)}={0}$ .

חשבו את המרחק הקצר ביותר.

$\displaystyle d(x)=\sqrt{x^{2}-7x+16}$

כתבו את הנקודה על הגרף הקרובה ביותר ל־ $\displaystyle A$ .
הראו ש־ $\displaystyle x^2-7x+16$ מגיע למינימום באותו $\displaystyle x$ .

תרגיל 5

הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x+\frac{9}{x}}$ מוגדרת בתחום $\displaystyle 1\leq x\leq6$ .
הנגזרת שלה היא $\displaystyle {f'(x)}={1-\frac{9}{x^2}}$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

חשבו את ערכי הפונקציה בקצות התחום ובנקודה שמצאתם בתחום.

\displaystyle f(1)

$\displaystyle f(x)=x+\frac{9}{x}$

הקיצון

$\displaystyle f(x)=x+\frac{9}{x}$

\displaystyle f(6)

$\displaystyle f(x)=x+\frac{9}{x}$

מהו הערך הקטן ביותר של $\displaystyle f$ בתחום, ומהו הערך הגדול ביותר?
איזה מהם הוא קיצון בקצה?

הקטן ביותר

הגדול ביותר

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אלגברה

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

הנגזרת

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

כללי גזירה

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$