דלג לתוכן

הגרף של פונקציה: אפסים, סימן, עלייה וירידה

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 1 מתוך 26לימוד

הגרף של פונקציה: אפסים, סימן, עלייה וירידה

פונקציה והגרף שלה

פונקציה מתאימה לכל x\displaystyle x בתחום ההגדרה שלה ערך אחד של y\displaystyle y. הגרף שלה הוא כל הנקודות (x,f(x))\displaystyle (x,f(x)).

  • לכן כל ישר אנכי חותך את הגרף של פונקציה בנקודה אחת לכל היותר.
  • הישר x=3\displaystyle {x}={3} אינו גרף של פונקציה: ל־x=3\displaystyle {x}={3} מתאימים בו כל ערכי y\displaystyle y.
  • גם המעגל x2+y2=25\displaystyle {x^2+y^2}={25} אינו גרף של פונקציה: ל־x=3\displaystyle {x}={3} מתאימים בו y=4\displaystyle {y}={4} ו־y=−4\displaystyle {y}={-4}.
מה קוראים מהגרף

מהגרף של פונקציה קוראים חמישה דברים:

  • נקודות החיתוך עם הצירים: עם ציר ה־x\displaystyle x – הנקודות שבהן f(x)=0\displaystyle {f(x)}={0} (נקודות האפס); עם ציר ה־y\displaystyle y – הנקודה (0,f(0))\displaystyle (0,f(0)).
  • תחום חיוביות: איפה הגרף מעל ציר ה־x\displaystyle x, f(x)>0\displaystyle f(x)>0. תחום שליליות: איפה הוא מתחתיו, f(x)<0\displaystyle f(x)<0.
  • תחום עלייה: איפה y\displaystyle y גדל כש־x\displaystyle x גדל. תחום ירידה: איפה y\displaystyle y קטן.
  • נקודת מקסימום: נקודה שבה הפונקציה עוברת מעלייה לירידה. נקודת מינימום: מירידה לעלייה. שתיהן נקודות קיצון.

בגרף שלפניכם, של f(x)=x(x−3)2\displaystyle {f(x)}={x(x-3)^2}:

f(x)=x(x−3)2\displaystyle f(x)=x(x-3)^{2}
A=(1,4)\displaystyle A=(1,4)
B=(3,0)\displaystyle B=(3,0)
  • נקודות החיתוך עם הצירים: (0,0)\displaystyle (0,0) ו־(3,0)\displaystyle (3,0).
  • חיובית כש־0<x<3\displaystyle 0<x<3 וכש־x>3\displaystyle x>3; שלילית כש־x<0\displaystyle x<0.
  • עולה כש־x<1\displaystyle x<1 וכש־x>3\displaystyle x>3; יורדת כש־1<x<3\displaystyle 1<x<3.
  • (1,4)\displaystyle (1,4) – נקודת מקסימום; (3,0)\displaystyle (3,0) – נקודת מינימום.

ב־x=3\displaystyle {x}={3} הגרף נוגע בציר ה־x\displaystyle x ולא חוצה אותו, ולכן הפונקציה חיובית משני הצדדים של 3.

הפונקציה הקווית

הגרף של f(x)=mx+b\displaystyle {f(x)}={mx+b} הוא ישר: m\displaystyle m השיפוע, ו־b\displaystyle b נקודת החיתוך עם ציר ה־y\displaystyle y.

  • m>0\displaystyle m>0: הפונקציה עולה בכל מקום. m<0\displaystyle m<0: יורדת בכל מקום. m=0\displaystyle {m}={0}: קבועה.
  • נקודת האפס היא הפתרון של mx+b=0\displaystyle {mx+b}={0}, ומצד אחד שלה הפונקציה חיובית ומהצד השני שלילית.
  • לפונקציה קווית עם m≠0\displaystyle m\neq0 אין נקודות קיצון.
הפונקציה הריבועית

הגרף של f(x)=ax2+bx+c\displaystyle {f(x)}={ax^2+bx+c} הוא פרבולה. את כל מה שקוראים מהגרף אפשר לחשב:

  • נקודות האפס: פותרים את ax2+bx+c=0\displaystyle {ax^2+bx+c}={0} בפירוק לגורמים או בנוסחת השורשים.
  • הקודקוד הוא נקודת הקיצון היחידה, ושיעור ה־x\displaystyle x שלו x=−b2a\displaystyle {x}={\frac{-b}{2a}}.
  • a>0\displaystyle a>0: הפרבולה “צוחקת”, הקודקוד מינימום, והפונקציה שלילית רק בין נקודות האפס.
  • a<0\displaystyle a<0: הפרבולה “בוכה”, הקודקוד מקסימום, והפונקציה חיובית רק בין נקודות האפס.

בדוגמה שלפניכם נקרא כך את f(x)=x2−2x−8\displaystyle {f(x)}={x^2-2x-8}:

  • x2−2x−8=(x−4)(x+2)\displaystyle {x^2-2x-8}={(x-4)(x+2)}, ולכן נקודות האפס הן x=−2\displaystyle {x}={-2} ו־x=4\displaystyle {x}={4}.
  • x=22=1\displaystyle {x}={\frac{2}{2}}={1} ו־f(1)=1−2−8=−9\displaystyle {f(1)}={1-2-8}={-9}: הקודקוד (1,−9)\displaystyle (1,-9) הוא נקודת מינימום.
f(x)=x2−2x−8\displaystyle f(x)=x^{2}-2x-8
V=(1,−9)\displaystyle V=(1,-9)
  • a=1>0\displaystyle {a}={1>0}, ולכן הפונקציה שלילית כש־−2<x<4\displaystyle -2<x<4, וחיובית כש־x<−2\displaystyle x<-2 וכש־x>4\displaystyle x>4.
  • יורדת כש־x<1\displaystyle x<1, ועולה כש־x>1\displaystyle x>1.
תרגיל 1

בלוח שלפניכם הגרף של f(x)=−(x+1)2(x−2)\displaystyle {f(x)}={-(x+1)^2(x-2)}.

א

סמנו על הגרף את נקודות החיתוך שלו עם ציר ה־x\displaystyle x ואת נקודות הקיצון.

f(x)=−(x+1)2(x−2)\displaystyle f(x)=-(x+1)^{2}(x-2)

ב

כתבו את תחומי החיוביות והשליליות של f\displaystyle f.
כתבו את תחומי העלייה והירידה של f\displaystyle f.

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=−x2+6x−5\displaystyle {f(x)}={-x^2+6x-5}.

א

מצאו את נקודות האפס של f\displaystyle f.

    ב

    שיעור ה־x\displaystyle x של הקודקוד הוא x=−6−2=3\displaystyle {x}={\frac{-6}{-2}}={3}.
    חשבו את שיעור ה־y\displaystyle y שלו.

    f(x)=−x2+6x−5\displaystyle f(x)=-x^{2}+6x-5

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      פתרו את אי־השוויון f(x)>0\displaystyle f(x)>0: מהו תחום החיוביות של f\displaystyle f?

        ד

        סמנו על הגרף את נקודות האפס ואת הקודקוד, ובדקו את התשובות שלכם.

        f(x)=−x2+6x−5\displaystyle f(x)=-x^{2}+6x-5

        תרגיל 3

        נתונה הפונקציה f(x)=−2x+6\displaystyle {f(x)}={-2x+6}.

        א

        מצאו את נקודת האפס של f\displaystyle f.

          ב

          פתרו את אי־השוויון f(x)<0\displaystyle f(x)<0: מהו תחום השליליות של f\displaystyle f?

            ג

            האם f\displaystyle f עולה או יורדת?
            נמקו לפי השיפוע.

            תרגיל 4

            נתונות הפונקציות f(x)=x2−1\displaystyle {f(x)}={x^2-1} ו־g(x)=x+1\displaystyle {g(x)}={x+1}.

            א

            סמנו על הלוח את נקודות החיתוך של שני הגרפים.

            f(x)=x2−1\displaystyle f(x)=x^{2}-1
            g(x)=x+1\displaystyle g(x)=x+1

            ב

            מצאו את שיעורי ה־x\displaystyle x של נקודות החיתוך בחישוב.

              ג

              פתרו את אי־השוויון f(x)<g(x)\displaystyle f(x)<g(x).
              בדקו על הלוח: איפה הפרבולה מתחת לישר?

                תרגיל 5

                איזה מהקווים הבאים הוא גרף של פונקציה?
                נמקו כל תשובה.

                • y=x2−4\displaystyle {y}={x^2-4}
                • x=−2\displaystyle {x}={-2}
                • x2+y2=9\displaystyle {x^2+y^2}={9}
                • y=5\displaystyle {y}={5}