תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 12 מתוך 26לימוד

תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון

הסימן של הנגזרת

הנגזרת בנקודה היא שיפוע המשיק שם, ולכן הסימן שלה אומר לאן הגרף הולך:

$\displaystyle f'(x)>0$ – המשיק עולה, והפונקציה עולה;
$\displaystyle f'(x)<0$ – המשיק יורד, והפונקציה יורדת;
$\displaystyle {f'(x)}={0}$ – המשיק אופקי.

\displaystyle f'(x)>0

תחומי העלייה הם הפתרונות של אי־השוויון $\displaystyle f'(x)>0$ , ותחומי הירידה – של $\displaystyle f'(x)<0$ .

נקודה חשודה כקיצון

בנקודת מקסימום הפונקציה מפסיקה לעלות ומתחילה לרדת, ובנקודת מינימום – להפך. בשתיהן המשיק אופקי, ולכן כל נקודת קיצון היא פתרון של המשוואה:

\displaystyle f'(x)

\displaystyle =

\displaystyle 0

פתרון של $\displaystyle {f'(x)}={0}$ הוא נקודה חשודה כקיצון.
טבלת סימנים מכריעה: בודקים את הסימן של $\displaystyle f'$ בכל תחום בין הנקודות החשודות.
$\displaystyle f'$ עובר מ־+ ל־−: נקודת מקסימום. מ־− ל־+: נקודת מינימום. אותו סימן משני הצדדים: אין קיצון.

דוגמה:

\displaystyle {f(x)}={x^3-6x^2+9x}

$\displaystyle {f(x)}={x^3-6x^2+9x}={x(x-3)^2}$ היא הפונקציה מהשיעור הראשון. אז קראנו את נקודות הקיצון שלה מהגרף; בדוגמה שלפניכם נמצא אותן בחישוב.

f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)

הנגזרת מתאפסת ב־ $\displaystyle {x}={1}$ וב־ $\displaystyle {x}={3}$ . נציב בנגזרת מספר אחד מכל תחום – למשל $\displaystyle {f'(0)}={9}$ , $\displaystyle {f'(2)}={-3}$ , $\displaystyle {f'(4)}={9}$ – ונקבל את הטבלה:

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<1$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 1<x<3$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle x>3$
$\displaystyle f'(x)$	+	0	−	0	+
$\displaystyle f(x)$	עולה	מקסימום	יורדת	מינימום	עולה

\displaystyle f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x

\displaystyle A=(1,4)

\displaystyle B=(3,0)

הפונקציה עולה כש־ $\displaystyle x<1$ וכש־ $\displaystyle x>3$ , ויורדת כש־ $\displaystyle 1<x<3$ .
$\displaystyle {f(1)}={1-6+9}={4}$ : נקודת מקסימום $\displaystyle (1,4)$ .
$\displaystyle {f(3)}={27-54+27}={0}$ : נקודת מינימום $\displaystyle (3,0)$ .

נגזרת מתאפסת בלי קיצון

לא כל נקודה שבה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ היא נקודת קיצון. בדוגמה שלפניכם נבדוק את $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x^2+3x}$ :

$\displaystyle {f'(x)}={3x^2-6x+3}={3(x-1)^2}$ , והיא מתאפסת רק ב־ $\displaystyle {x}={1}$ .
משני הצדדים של 1 הנגזרת חיובית: $\displaystyle (x-1)^2>0$ .
לכן הפונקציה עולה לפני 1 וגם אחריו. בנקודה $\displaystyle (1,1)$ המשיק אופקי, אבל אין קיצון.

\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x

\displaystyle A=(1,1)

קיצון מקומי, קיצון מוחלט וקיצון בקצה

נקודת קיצון היא מקומית: הערך שלה הגדול ביותר (או הקטן ביותר) רק בסביבה הקרובה שלה. הערך הגדול ביותר בכל תחום ההגדרה הוא המקסימום המוחלט, והקטן ביותר – המינימום המוחלט.

ל־ $\displaystyle x^3-6x^2+9x$ , המוגדרת לכל $\displaystyle x$ , אין מקסימום מוחלט: כש־ $\displaystyle x$ גדל, גם $\displaystyle f(x)$ גדל בלי סוף.
כשתחום ההגדרה סגור, למשל $\displaystyle 0\leq x\leq5$ , גם בכל קצה של התחום יש קיצון בקצה.

בדוגמה שלפניכם נמצא את נקודות הקיצון של $\displaystyle {f(x)}={x^3-6x^2+9x}$ בתחום $\displaystyle 0\leq x\leq5$ . נחשב את הערכים בקצות ובנקודות החשודות:

$\displaystyle {f(0)}={0}$ : מ־0 עד 1 הפונקציה עולה, ולכן $\displaystyle (0,0)$ היא נקודת מינימום בקצה.
$\displaystyle {f(1)}={4}$ : נקודת מקסימום מקומית.
$\displaystyle {f(3)}={0}$ : נקודת מינימום מקומית.
$\displaystyle {f(5)}={125-150+45}={20}$ : מ־3 עד 5 הפונקציה עולה, ולכן $\displaystyle (5,20)$ היא נקודת מקסימום בקצה.

המקסימום המוחלט בתחום הוא 20, ב־ $\displaystyle {x}={5}$ . המינימום המוחלט הוא 0, ומתקבל פעמיים: ב־ $\displaystyle {x}={0}$ וב־ $\displaystyle {x}={3}$ .

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x^2-9x+5}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f'(x)>0$ : מהם תחומי העלייה של $\displaystyle f$ ?

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון של $\displaystyle f$ .

\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5

כתבו את תחום הירידה של $\displaystyle f$ .
כתבו את נקודות הקיצון ואת הסוג של כל אחת.

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={-x^3+12x}$ .

כתבו אי־שוויון ופתרו אותו: מהו תחום העלייה של $\displaystyle f$ ?

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון של $\displaystyle f$ .

\displaystyle f(x)=-x^{3}+12x

קבעו את הסוג של כל נקודת קיצון.
נמקו לפי תחום העלייה שמצאתם.

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^4-8x^2+3}$ .

כתבו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ ופתרו אותה.

בנו טבלת סימנים של $\displaystyle f'(x)$ .
כתבו את תחומי העלייה והירידה, ואת נקודות הקיצון וסוגן.

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון.

\displaystyle f(x)=x^{4}-8x^{2}+3

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3+3x}$ .

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f'(x)>0$ .

האם יש ל־ $\displaystyle f$ נקודות קיצון?
האם יש לה תחום ירידה?
נמקו.

תרגיל 5

הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x^2}$ מוגדרת בתחום $\displaystyle -1\leq x\leq4$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

חשבו את ערכי הפונקציה בקצות התחום ובנקודות שמצאתם.

\displaystyle f(-1)

$\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}$

הקיצון השמאלי

$\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}$

הקיצון הימני

$\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}$

\displaystyle f(4)

$\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}$

כתבו את כל נקודות הקיצון של $\displaystyle f$ בתחום, גם בקצות, ואת הסוג של כל אחת.
מהו המקסימום המוחלט, ומהו המינימום המוחלט?

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אלגברה

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

הנגזרת

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

כללי גזירה

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$