חקירת פולינום

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 13 מתוך 26לימוד

חקירת פולינום

שלבי החקירה

חקירת פונקציה אוספת את כל מה שקוראים מגרף – בלי הגרף, מתוך הנוסחה. בסופה יש מספיק נקודות ותחומים כדי לשרטט סקיצה: גרף שהצורה שלו נכונה, גם אם הוא לא מדויק. השלבים:

תחום ההגדרה: פולינום מוגדר לכל $\displaystyle x$ .
נקודות החיתוך עם הצירים: $\displaystyle {f(x)}={0}$ – עם ציר ה־ $\displaystyle x$ ; $\displaystyle f(0)$ – עם ציר ה־ $\displaystyle y$ .
זוגיות: בודקים אם $\displaystyle {f(-x)}={f(x)}$ או $\displaystyle {f(-x)}={-f(x)}$ . אם כן, מספיק לחקור את הצד הימני, והגרף סימטרי.
נקודות קיצון: פותרים $\displaystyle {f'(x)}={0}$ , ובונים טבלת סימנים של $\displaystyle f'$ .
תחומי עלייה וירידה: קוראים מאותה טבלה.
סקיצה: מסמנים את כל הנקודות שמצאתם, ומחברים לפי תחומי העלייה והירידה.

דוגמה:

\displaystyle {f(x)}={x^4-4x^3}

בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle {f(x)}={x^4-4x^3}$ :

תחום ההגדרה: כל $\displaystyle x$ .
$\displaystyle {x^4-4x^3}={x^3(x-4)}={0}$ כש־ $\displaystyle {x}={0}$ או $\displaystyle {x}={4}$ : נקודות החיתוך עם הצירים הן $\displaystyle (0,0)$ ו־ $\displaystyle (4,0)$ .
$\displaystyle {f(1)}={-3}$ ו־ $\displaystyle {f(-1)}={5}$ : הפונקציה לא זוגית ולא אי־זוגית.
$\displaystyle {f'(x)}={4x^3-12x^2}={4x^2(x-3)}$ , והיא מתאפסת ב־ $\displaystyle {x}={0}$ וב־ $\displaystyle {x}={3}$ .

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<0$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 0<x<3$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle x>3$
$\displaystyle f'(x)$	−	0	−	0	+
$\displaystyle f(x)$	יורדת	אין קיצון	יורדת	מינימום	עולה

\displaystyle f(x)=x^{4}-4x^{3}

\displaystyle A=(3,-27)

\displaystyle B=(4,0)

$\displaystyle {f(3)}={81-108}={-27}$ : נקודת מינימום $\displaystyle (3,-27)$ .
ב־ $\displaystyle {x}={0}$ המשיק אופקי, אבל הפונקציה יורדת משני הצדדים – אין שם קיצון.
הפונקציה יורדת כש־ $\displaystyle x<3$ ועולה כש־ $\displaystyle x>3$ .

חקירה בתחום סגור

כשהפונקציה מוגדרת רק בתחום סגור, כמו $\displaystyle -2\leq x\leq4$ , מוסיפים לחקירה את קצות התחום: גם בהם יש נקודות קיצון, וגם הם מועמדים לקיצון המוחלט.

בדוגמה שלפניכם נמצא את המקסימום המוחלט ואת המינימום המוחלט של $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x^2}$ בתחום $\displaystyle -2\leq x\leq4$ :

$\displaystyle {f'(x)}={3x^2-6x}={3x(x-2)}$ מתאפסת ב־ $\displaystyle {x}={0}$ וב־ $\displaystyle {x}={2}$ .
נחשב את הערכים בנקודות האלה ובקצות: $\displaystyle {f(-2)}={-20}$ , $\displaystyle {f(0)}={0}$ , $\displaystyle {f(2)}={-4}$ , $\displaystyle {f(4)}={16}$ .
הערך הגדול ביותר, 16, הוא המקסימום המוחלט – בקצה, ב־ $\displaystyle {x}={4}$ . הקטן ביותר, $\displaystyle -20$ , הוא המינימום המוחלט – בקצה, ב־ $\displaystyle {x}={-2}$ .

פרמטר

פרמטר הוא אות שעומדת במקום מספר קבוע, כמו $\displaystyle a$ ב־ $\displaystyle {f(x)}={x^3+ax^2}$ . נתון על הפונקציה נותן משוואה שהפרמטר פותר.

בדוגמה שלפניכם נמצא את $\displaystyle a$ , אם ידוע של־ $\displaystyle {f(x)}={x^3+ax^2}$ יש נקודת קיצון ב־ $\displaystyle {x}={2}$ :

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת, ולכן $\displaystyle {f'(2)}={0}$ .
$\displaystyle {f'(x)}={3x^2+2ax}$ , ולכן $\displaystyle {f'(2)}={12+4a}={0}$ , ו־ $\displaystyle {a}={-3}$ .
צריך לבדוק שזה באמת קיצון: $\displaystyle {f'(x)}={3x^2-6x}={3x(x-2)}$ מחליפה סימן ב־ $\displaystyle {x}={2}$ מ־− ל־+, ולכן יש שם מינימום.

מספר הפתרונות של

\displaystyle {f(x)}={k}

הפתרונות של המשוואה $\displaystyle {f(x)}={k}$ הם השיעורים $\displaystyle x$ של נקודות המפגש בין הגרף של $\displaystyle f$ לבין הישר האופקי $\displaystyle {y}={k}$ . לכן החקירה עונה כמה פתרונות יש, גם כשאי אפשר לפתור את המשוואה.

ל־ $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x}$ יש מקסימום $\displaystyle (-1,2)$ ומינימום $\displaystyle (1,-2)$ , והיא עולה בלי סוף ימינה ויורדת בלי סוף שמאלה. בלוח שלפניכם הישר $\displaystyle {y}={1}$ :

\displaystyle f(x)=x^{3}-3x

\displaystyle y=1

\displaystyle A=(-1,2)

\displaystyle B=(1,-2)

$\displaystyle -2<k<2$ : הישר חותך את הגרף שלוש פעמים – שלושה פתרונות. כך המשוואה $\displaystyle {x^3-3x}={1}$ .
$\displaystyle {k}={2}$ או $\displaystyle {k}={-2}$ : הישר עובר דרך נקודת קיצון ונוגע בגרף שם – שני פתרונות.
$\displaystyle k>2$ או $\displaystyle k<-2$ : פתרון אחד.

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x^2-9x+5}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f'(x)<0$ : מהו תחום הירידה של $\displaystyle f$ ?

חשבו את שיעורי ה־ $\displaystyle y$ של הנקודות שמצאתם בסעיף ב.

הקיצון השמאלי

$\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5$

הקיצון הימני

$\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5$

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון.

\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5

כתבו את נקודת החיתוך עם ציר ה־ $\displaystyle y$ , את סוג כל נקודת קיצון ואת תחומי העלייה.

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^4-8x^2}$ .

הראו ש־ $\displaystyle f$ זוגית.
מה זה אומר על הגרף שלה?

$\displaystyle {f'(x)}={4x^3-16x}$ .
פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f'(x)>0$ : מהם תחומי העלייה של $\displaystyle f$ ?

סמנו על הגרף את נקודות החיתוך עם ציר ה־ $\displaystyle x$ ואת נקודות הקיצון.

\displaystyle f(x)=x^{4}-8x^{2}

תרגיל 3

הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={2x^3-3x^2-12x+1}$ מוגדרת בתחום $\displaystyle -2\leq x\leq3$ .
הנגזרת שלה היא $\displaystyle {f'(x)}={6x^2-6x-12}$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

חשבו את ערכי הפונקציה בקצות התחום ובנקודות שמצאתם.

\displaystyle f(-2)

$\displaystyle f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+1$

הקיצון השמאלי

$\displaystyle f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+1$

הקיצון הימני

$\displaystyle f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+1$

\displaystyle f(3)

$\displaystyle f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+1$

מהו המקסימום המוחלט של $\displaystyle f$ בתחום, ומהו המינימום המוחלט?
באיזה $\displaystyle x$ מתקבל כל אחד מהם?

מקסימום

ב־

\displaystyle {x}={}

מינימום

ב־

\displaystyle {x}={}

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3+ax^2+3}$ ( $\displaystyle a$ פרמטר).
לפונקציה יש נקודת קיצון ב־ $\displaystyle {x}={-2}$ .

כתבו משוואה ל־ $\displaystyle a$ ופתרו אותה.

הציבו את $\displaystyle a$ שמצאתם: $\displaystyle {f'(x)}={3x^2+6x}$ .
פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את שתי נקודות הקיצון.

\displaystyle f(x)=x^{3}+3x^{2}+3

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-12x}$ .

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון של $\displaystyle f$ .

\displaystyle f(x)=x^{3}-12x

כמה פתרונות יש לכל משוואה?
נמקו לפי נקודות הקיצון.

$\displaystyle {x^3-12x}={20}$
$\displaystyle {x^3-12x}={16}$
$\displaystyle {x^3-12x}={0}$
$\displaystyle {x^3-12x}={-10}$

\displaystyle {}={20}

\displaystyle {}={16}

\displaystyle {}={0}

\displaystyle {}={-10}

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אלגברה

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

הנגזרת

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

כללי גזירה

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$